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整数を自然数や非負整数の和の形に分割する方法は割と定番の話題として、単元学習においても触れる話題です。
ただ、本問を一見すると
「ん？奇数？」
と怯むかもしれません。
ただ、正の奇数 \(l\) , \(m\) , \(n\) を
\(L\) , \(M\) , \(N\) を非負整数として
$$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
l=2L+1 \\
m=2M+1\\
n=2N+1
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$$
と表せば、題意の \(l+m+n=K\) という関係式は
\((2L+1)+(2M+1)+(2N+1)=K\)
すなわち
\(L+M+N=\displaystyle \frac{K-3}{2}\)
という形になり、これを満たす非負整数 \((L \ , \ M \ , \ N)\) の組が何個あるかを探すという定番の問題に帰着します。
ここから先はきちんと学習を積み重ね、定着させていれば十分完答できる問題です。