2022年度　京都大学　理系第２問【距離が２以上離れる３整数についての確率】

2022年3月1日

京大らしいシンプルな題意です。

2005年度の京大に類似する設定の過去問があります。

: 参考取り出したカードの数が等差数列となる確率【2005年度京都大学】

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）とてもシンプルな問題ですが、いざ考えてみると難しく感じるという、いかにも京大らしい問題です。愚直に押し切る方法と、見方を変えればあっさ ...

続きを見る

題意を満たす整数の組 $(X \ , \ Y \ , \ Z)$ の個数を数え上げるわけですが、複数の方針が考えられます。

愚直に数える方針としては

$Y=k$

などと固定すると、

というようなイメージで考え、

$X$ のとり得る値としては $1$ から $k-2$ までの

$k-2$ 通り

$Z$ のとり得る値としては $k+2$ から $n$ までの

$n-(k+2)+1=n-k-1$ 通り

なので、題意を満たす $(X \ , \ Y \ , \ Z)$ の組は

$\displaystyle \sum_{k=3}^{n-2}(k-2)(n-k+1)$ 通り

ということになります。

幅が $2$ 以上ということを嫌えば , 幅が $1$ のときを考えるという余事象を考える方針も考えられます。

経験がモノを言う方針ではありますが、

$$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
X'= X \\
Y'= Y-1\\
Z'=Z-2
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$$

という変数変換をします。

題意を満たす整数の組 $(X \ , \ Y \ , \ Z)$ を数えたければ

$1 \leq X' \lt Y' \lt Z' \leq n-2$ を満たす整数 $(X' \ , \ Y' \ , \ Z')$ の組を数える

という方針に帰着します。

複数方針が考えられ、どの方針も現実的に処理可能な範疇であることを考えると、目についた方針でそのまま処理しきってしまうことは十分可能です。

それゆえに、できれば確保したいところです。

難易度はやや易ですが、試験場補正がどの程度かかるかが問題です。