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2022年度 京都大学 理系第6問【漸化式と周期性】

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2種類の数列 \(\{x_{n}\}\) ,  \(\{y_{n}\}\) に対して、その差を取った数列 \(\{x_{n}-y_{n}\}\) の一般項 \(x_{n}-y_{n}\) を求めるという問題です。

\(\{y_{n}\}\) の方は具体的に与えられているので、そこまで恐れる必要はないでしょうが、問題は数列 \(\{x_{n}\}\) の漸化式の方です。

構造上

\(x_{n}\) が分かって、次の \(x_{n+1}\) が求まる

ということは分かりますが、\(x_{n}\) が三角関数の中にも入っており、機械的な式変形でどうこうするタイプの問題ではないことが分かります。

このような得体のしれない漸化式に対しては

  • ひとまず実験をしてみる

ということが大切です。

その中で問題文から読み取れない様々な情報を見逃さずとらえ、必要に応じて裏付けをとるということが必要になってきます。

本問の急所は

  • \(\cos{\displaystyle \frac{2 \pi x_{n}}{3}}\) が \(x_{n}\) を \(3\) で割った余りに応じて特定の値しかとらない周期性をもつこと
  • その \(x_{n}\) を \(3\) で割った余りについても周期性をもつということ
  • \(y_{n+1}-y_{n}\) についても周期性をもち、それが \(\cos{\displaystyle \frac{2 \pi x_{n}}{3}}\) の周期と同じであること

ということになります。

もちろん、最短距離で見抜ける人はゼロではないでしょうが、気づくにしても手を動かしながら試行錯誤を繰り返し見出していく類のポイントでしょう。

難易度はやや難です。

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