年別アーカイブ:2021年

2021/3/7

2021年度 大阪大学理系第2問【共面条件】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   状況を図に書いてみて、言われていることを式に落とし込んでいったら、結論まで躓くことなく辿り着けるはずです。 一般に4点 \(A\) ,  \(B\) ,  \(C\) ,  \(D\)  が同一平面上にあるための条件は次の通りです。 共面条件 空間内の異なる4点 \(A\) ,  \(B\) ,  \(C\) ,  \(D\) が同一平面上にあるとき、実数 \(s\) ,  \(t\) を用いて \(\overrightarro ...

2021/3/7

2021年度 大阪大学理系第1問【従属2変数関数の最小】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   パッと見た印象は (2) の \(\displaystyle \frac{t}{s}\) が (1) の結果から \(a\) ,  \(b\) の 2 変数関数で、条件から \(b=\displaystyle \frac{9}{4}-3a^{2}\) という従属性をもっている従属2変数関数の最大最小になるなと、読み取れました。 大体の方針はもう見えているので、あとは計算していくのみです。 実際の細々とした注意点については【戦略】 ...

2021/3/6

2021年度 京都大学理系【総評と感想】

今年の京都大理系数学を解いての感想です。 難易度について 切れ味の鋭い論証を含むというよりも、計算が主体の問題が多かったと思います。 そういった意味で、発想面で困る問題は少ないことも考えると全体的な難易度はやや易化したかなと思います。   2021年度 京都大学理系 各解説記事   第1問 問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   京大が定期的に出題する小問集合のスタイルで、2019年度 ,  2012年度 ,  2011年度にも独立した問として、こ ...

2021/3/6

2021年度 京都大学理系第6問【素数についての証明問題】【抽象的な関数の論証】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   第6問も独立した2つの問いの形式ということに軽く驚きましたが、そこは「そういうこともあるのか」程度のものでしょう。 問1はメルセンヌ素数( \(2^{n}-1\) という形の素数 )についての有名事実 \(n\) を正の整数として、\(2^{n}-1\) が素数であるならば ,  \(n\) も素数である。 というものの延長的な話題だと思われます。 シナリオについても決め手が \(x^{n}-y^{n}=(x-y)(x^{n-1 ...

2021/3/5

2021年度 京都大学理系第5問【垂心の軌跡】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 京大にしては珍しく誘導があります。 (1) は幾何的に攻めたいですね。 2定点を見込む角度が一定ということで、円周角の定理をインスピレーションできるでしょうから、答えはすぐ出せると思いますが、条件 (*) についてどこまで自明のものとして扱ってよいのかという点で書きづらさを感じた人も多いのではないかなと思いました。 (2) は軌跡ですから、基本的には座標的に処理するのが普通でしょうか。基本に忠実に \((X \ , \ Y)\)  として \ ...

2021/3/5

2021年度 京都大学理系第4問【曲線の長さと積分計算】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   公式 曲線の長さ(道のり)の公式 \(L=\displaystyle \int_{\alpha}^{ \beta } \sqrt{1+(\displaystyle \frac{dy}{dx})^{2}} dx\) に沿って計算していくだけであり、方針面では困ることはないはずでしょう。 手なりに計算していけば結局は \(\displaystyle \int_{ \ }^{ \ } \displaystyle \frac{1}{\c ...

2021/3/4

2021年度 京都大学理系第3問【三角関数についての無限級数】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   かわいい顔をしていますが、割と棘のある問題だと思います。 無限級数の問題では、 無限級数の鉄則 部分和をとって、その極限を取る というのが鉄則です。 その鉄則は京大受験生であればクリアーして然るべきでしょう。 そこで、\(\displaystyle \sum_{k=0}^n (\displaystyle \frac{1}{2})^{k}\cos{\displaystyle \frac{k\pi}{6}}\) などと部分和を考えま ...

2021/3/4

2021年度 京都大学理系第2問【x切片と接点の距離】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   一見して、すぐに 接点を設定して、接線の式を立式 \(x\) 切片を求めて \(Q\)  の座標を出す \(PQ\) の長さである \(L\) の式を出す あとは煮るなり焼くなり・・・ と、方針面で困ることはないと思いますので、基本的には計算勝負となるでしょう。 落ち着いて計算ミスに気を付けて進めていきましょう。 ただ、計算してみると分かると思いますが、2 乗につぐ 2 乗が登場しますので、全集中して処理してください。 置き換え ...

2021/3/3

2021年度 京都大学理系第1問【平面についての対称点】【復元抽出による確率】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   京大が定期的に出題する小問集合のスタイルで、2019年度 ,  2012年度 ,  2011年度にも独立した問として、この形式で出題されています。 問1については京大は平面の方程式を前面に押し出す解答で大丈夫でしょう。ベクトルを駆使しながら確実に処理しきりたい問題です。 問2の確率については、単元学習の段階ではちょっとした難問でしょうが、実戦のレベルからすれば基本問題でしょう。 控えめに言って問2を落としてしまうと、ビハインドと ...

2021/4/1

2021年度 名古屋大学理系【感想と総評】

今年の名古屋大学理系の問題を解いての感想です。 難易度について ここ数年の名古屋大学の問題の難易度から考えると、今年は易化と言ってよいでしょう。 単品で見ればいい問題なんだけど、試験のセットとしては機能していないと思われるレベルの問題を容赦なく出題していました。 それを考えると今年は幾分か良心的です。 2021年度 名古屋大学理系 各解説記事       第1問 問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 共通接線という定番の話題からスタートし、最後は2本 ...

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