年別アーカイブ：2021年

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） まずは問題の舞台設定を把握するところからエネルギーを使います。 ベクトルで表現されていますがこの \(V_{a}\) ,  \(V_{b}\) というのは言ってみれば 斜めに傾いた円柱 です。 この斜めに傾いた円柱同士の共通部分の体積を求めるのが本問の趣旨となります。 目を凝らしても見づらいですから、何とかして工夫することを考えましょう。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む 今回の立体のイメージ 今回の立 ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 初見だと何から手を付ければよいか戸惑う人も多いと思います。 以前に 併せてどうぞ 不等式で表された立体という内容を扱いました。 今回はその延長にある話題です。 見えるんだけど見づらい立体 今回、 円柱と円柱の共通部分の体積を求めよ と言われているわけですが、この共通部分と言うのは口で言うのは簡単ですが、目で見るのは中々大変でしょう。 乱暴な言い方にはなりますが、結局体積を求めるには全体像は不要で、 断面積をどうするか ということに集中すればそ ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 「不等式で表された立体の体積」というテーマ性のある問題を扱います。 このあたりを場当たり的に何となく理解している状況から、自分が何をしているのかはっきりと説明できる状態に昇華させるためには 方程式や不等式というものの根っこ をおさえる必要があります。 ここではそこをガッチリと掴みながらこのトピックスはもちろん、その他の問題に対しても役に立つ考え方を身につけていってほしいと思います。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）し ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） リサジュー曲線と呼ばれる有名曲線について扱った問題です。 リサージュ曲線という呼ばれ方もあり、呼ばれ方に多少揺れがあります。 個人的にはリサージュの方が言いやすいですけど。 リサージュ曲線の定義 媒介変数 \(t\) を用いて リサージュ曲線 $$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x  = A \sin{at} \\ y = B \sin{(bt+\delta)} \end{array} \r ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） カテナリー（懸垂線）と呼ばれる有名曲線を扱った問題を見ていきます。 カテナリー（懸垂線）とは カテナリー（懸垂線）は鎖やロープの両端をもってぶら下げたときにできる曲線と紹介されるのが有名です。 カテナリー（懸垂線）を与える式 \(a\) は \(a \gt 0\) を満たす定数とするとき、カテナリー（懸垂線）を与える式は カテナリーを与える式 \(f(x)=\displaystyle \frac{a(e^{\frac{x}{a}}+e^{-\ ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） この問題のオチは考えてみたくなります。 できることなら (1) や (2) の誘導なしで考えてみてほしいところですが、(1) ,  (2) 自体も筋が悪いとアタフタするかもしれません。 視覚的には   といった感じでグラフ的にとらえると、確かに題意の主張は納得できます。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む (1) について 基本的には微分してゴリゴリ路線です。 \(f'_{1}(x)\) を計算 ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 有名曲線の一つである「等角螺旋」と呼ばれる曲線について扱った問題です。 対数螺旋、ベルヌーイの螺旋など様々な呼ばれ方がありますが、性質的なものと関連付けると等角螺旋という呼び方が「名が体を表す」ような呼び方なのでここではそう呼ばせてもらいます。 本問は教科書的な力で言えば 微分法の基本的な運用力 ベクトルを用いて座標平面上の角度を扱う力 パラメータ表示された曲線の弧長を求める力 が問われています。 上記の力をはかるためには、別に等角螺旋を題材 ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   ４つの面が全て合同である四面体のことを「等面四面体」と言います。 この等面四面体については初見でぶつかると、ほとんどの人がはじき返されることになります。 初見であれば、ひとまずは全力で考えてみてください。 脳に汗をかいて脱水症状になりかけたら、知識として糧にしてしまうのも仕方ありません。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む まともにぶつかると 真正面からぶつかると、体積計算をするにあたり、底 ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） とてもシンプルな問題ですが、いざ考えてみると難しく感じるという、いかにも京大らしい問題です。 愚直に押し切る方法と、見方を変えればあっさりと解決できる方法があります。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む 愚直に解くとなると \(n=3\) のとき \((1 \ , \ 2 \ , \ 3)\)  \(\cdots\) 公差 1 \(n=4\) のとき \((1 \ , \ 2 \ , \ 3)\) ,  ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） ２直線の交点の軌跡というテーマ性のある話題です。 単元学習で軌跡を学習したばかりの状態でこのテーマに取り組むと、「あれ？」となる人が多いでしょう。 方針としては複数考えられますが、どのような方針が自然かということについて比較検討まで含めて考えていきます。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む 思いつきやすい方針 軌跡の基本は \((X \ , \ Y)\) とおき、\(X\) ,  \(Y\) の関係式を ...