月別アーカイブ：2021年12月

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 自然数を和として分割する方法について考える問題です。 シンプルでキレイな題意は、アレンジしようにもそれ以上手を加える余地があまりなく、それ以降出題を考えても二番煎じになってしまうためかえって出題を敬遠されるかもしれません。 ただ、シンプルで分かりやすく、難易度が適度におさまり、かつ手垢の付いていない良問というのはそう簡単には生み出せるものではありません。 本問は上述の良問要素を含んでいると思います。 （もちろん見る人が見たら手垢はついていると ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 中々の強面です。 与えられた関係式そのものも強面ですが、「存在条件」というのもパッと見でこわいものがあるでしょう。 そもそも問題文の意味を正しく捉えられるかという点でも結構強力なフィルターがかかっていると思います。 ただ、強面ですが、根はいいやつなので仲良くしたい問題です。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む 題意の把握 よく分からなければ具体例で実験してみましょう。 下手くそな \(a\) ,  \(b ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 複素数の実数条件と、それを満たすような点 \(z\) の集合について考える問題です。 試験場で遭遇したと想定したら、確保したい標準的な難易度でしょう。 複素数平面の問題は様々な解法が考えられ、方針によって労力が変わってくることも珍しくありません。 方針というのは、ある意味「翻訳の仕方」と言ってもよいと思いますが、今回は複素数が実数であるということをどのように翻訳するかという部分を確認していきます。 （以下ネタバレ注意）   + クリ ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 円周上の３点によって直角三角形ができるための必要十分条件を考える論証問題です。 幾何的に言えば \(\triangle{\mathrm{ABC}} が直角三角形 \Leftrightarrow \mathrm{AB} \ , \ \mathrm{BC} \ , \ \mathrm{CA} のどれかが直径\) という同値性は言えるでしょう。 それをもう少し高級に主張しています。 勉強している人からすれば、今回主張されている同値性は 「そりゃそう ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 仮想難関大シリーズということで、東大、京大をはじめとする旧帝大、東工大、国公立大学医学部医学科などの難関国公立大を想定したオリジナルの自作問題です。 「手垢の付いていない問題で力試しがしたい」 という方はぜひご活用ください。 今回は微分法に関する問題です。 \(a^{b}\) と \(b^{a}\) という形の２数についての大小比較がテーマです。 古くからある有名問題であり、(1) ,  (2) までは定番の内容です。 (3) で少し「ムムっ ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 定積分の計算というシンプルなオチですが、ノーヒントではほとんど差がつかないでしょう。 特に (3) で誘導の使い方が分からないと、頭に血が昇り、ムキになって 誘導に頼らずやってやる と、ますます深みに嵌まってしまうかもしれません。 そこまで複雑そうな関数にも見えないので尚更です。 最近では、こういったあまりに技巧的な要素を含む問題を嫌う傾向にありますが、芸術鑑賞と考えれば本問の話の進み方は初見の方にとっては感動的です。 （以下ネタバレ注意） ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 放物線と直線により囲まれる面積についての処理について扱った問題です。 言われたことを言われたとおりにしかやれない人はさようなら という大阪大学の声が聞こえてきそうです。 ボリューミーな問題が特徴の阪大ですが、本問は切れ味一発系統のパズル的問題です。 （以下ネタバレ注意） + クリック（タップ）して続きを読む 状況の把握 与えられたシチュエーションを図示してみると の青色の部分が題意の等しいと言われている部分の面積です。 これらの面積を \(S ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 確率と極限の融合問題ですが、実質的にはまずは確率をきちんと計算できるかが要求されます。 正六角形の頂点に印をうっていき、直角三角形ができるできないを考えるという、よくありそうな設定です。 ただ、意外と「ウッ」となる受験生は少なくないでしょう。 よくある設定のなかで、考えづらい要素を含むボディーブローのような問題です。 東大って結構そういう出題が特徴的だったりしますね。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む ...