解答速報

2021年度 大阪大学理系【総評と感想】

今年の大阪大理系数学を解いての感想です。

難易度について

内容自体は標準的な内容が多いように思いましたが、完答するためには何かしらのワンパンチが必要な問題が並んでいたように思います。

昨年に比べて難易度は保っていたように思いますので、大きな難易度変化はないといってよいと思います。

 

2021年度 大阪大学理系 各解説記事

2021年度 大阪大学理系第1問【従属2変数関数の最小】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   パッと見た印象は (2) の \(\displaystyle \frac{t}{s}\) が (1) の結果から \(a\) ,  \(b\) の 2 変数関数で、条件から \(b=\displaystyle \frac{9}{4}-3a^{2}\) という従属性をもっている従属2変数関数の最大最小になるなと、読み取れました。 大体の方針はもう見えているので、あとは計算していくのみです。 実際の細々とした注意点については【戦略】 ...

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2021年度 大阪大学理系第2問【共面条件】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   状況を図に書いてみて、言われていることを式に落とし込んでいったら、結論まで躓くことなく辿り着けるはずです。 一般に4点 \(A\) ,  \(B\) ,  \(C\) ,  \(D\)  が同一平面上にあるための条件は次の通りです。 共面条件 空間内の異なる4点 \(A\) ,  \(B\) ,  \(C\) ,  \(D\) が同一平面上にあるとき、実数 \(s\) ,  \(t\) を用いて \(\overrightarro ...

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2021年度 大阪大学理系第3問【定積分の不等式評価と極限】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   見た目がゴツいため、ウワっと思いがちですが、(1) ,  (2) まではやってみると見掛け倒しということが分かると思います。 問題は(3) です。 阪大受験生からすれば、 \(p\) ,  \(q\) を求めること自体はそこまで難しくはないと思われます。 ただ、その導出過程には気を付けたいところで、 \(\displaystyle \lim_{ n \to \infty } (a_{n}-□n) = △\)  だから  \(p= ...

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2021年度 大阪大学理系第4問【定積分を用いた整数問題】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   一見、この定積分がどう効いてくるのか身構えますが、実際に解き進めてみると中身は整数問題です。 整数問題の有力方針 積の形から約数の拾い 余りで分類 評価する(範囲を絞る) と、整数問題に対する有力な方針は3つあります。 このあたりのもう少し例題要素の強い問題については 等で扱っていますので、適宜ご活用ください。   本問は整数問題の基本やその運用力について試す問題で、整数問題の基本的な運用力を下地として、式のもつ形を観 ...

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2021年度 大阪大学理系第5問【複接線が引けるための必要十分条件】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   (1) は \(f(x)=x-\tan{x}\)  ( \(-\displaystyle \frac{\pi}{2} \lt x \lt \displaystyle \frac{\pi}{2}\) )  と設定し、微分すれば \(f(x)\) が単調減少であることが即座に分かります。 あとは任意の実数 \(a\) に対して \(y=f(x)\) のグラフと \(y=a\) が 1 点のみで共有点をもつことが言えればよく、この \ ...

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2021年度 大阪大学理系【総評と感想】

今年の大阪大理系数学を解いての感想です。 難易度について 内容自体は標準的な内容が多いように思いましたが、完答するためには何かしらのワンパンチが必要な問題が並んでいたように思います。 昨年に比べて難易度は保っていたように思いますので、大きな難易度変化はないといってよいと思います。   2021年度 大阪大学理系 各解説記事   第1問 問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 最終的に従属2変数関数の最小値を求める問題に帰着します。 今回は \(b=\displa ...

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第1問

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

最終的に従属2変数関数の最小値を求める問題に帰着します。

今回は \(b=\displaystyle \frac{9}{4}-3a^{2}\) と文字消去することが容易なので、きっちりと打ち返したい問題です。

文字消去する際に大切な「遺産の整理」という言葉の大切さについても教訓として学べる問題だと思います。

難易度は標準でしょう。

 

第2問

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

 

空間ベクトルに関する問題で、状況把握さえ済んでしまえば、

(1) は 4 点が同一平面上にあることの翻訳

(2) は基底(主役となる 3 本のベクトル)についての大きさや内積などの基本情報を元に、直交条件  \(\overrightarrow{ OP } \cdot \overrightarrow{ OQ }=0\) を考えていけば手なりに完答が狙えるはずです。

今回のセットでは落としたくない一問だったと思います。

難易度はやや易だと感じました。

 

第3問

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

 

見た瞬間、「うわー、めんどくさそう」と思った人は多いでしょう。ただ、やってみると見掛け倒しだと分かります。

(2) までは確保したいところです。

(3) は極限に関する議論の部分で雰囲気だけで解いている人が嵌まりそうなポイントがあります。

そのあたりをどのように解決するかについては解説の中でご覧いただければと思います。

\(p\) ,  \(q\) の値に辿り着くこと自体は阪大受験生であればそこまで無茶ではないのですが、その導出過程の部分に難しさがあり、できたつもりになりやすい問題だと思いました。

そういった意味で難易度はやや難かなと感じました。

 

第4問

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

一見、\(a\) ,  \(b\)  に関して対称な定積分に関する等式ですが、解き進めていくと定積分自体はそんなに効いてくるわけではなく、中身は整数問題になります。

これについても、議論の進め方に五月蝿いポイントを含んでいます。

阪大受験生と言えど、あまり目くじらを立てて採点すると多くの受験生が引っかかっていることが予想されるため、ある程度の部分まで言及してあればお咎めなしになるのではないかと思いますが、そのあたりは無責任なことは言えません。

難易度は標準~やや難で、出来は良くないと思われます。

 

第5問

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

これも見たら、威圧感に負けそうな受験生が多くいそうです。

(1) については基本的な内容で、手なりに微分すれば問題なく解決します。

(2) は結局何が言えればよいのかを端的にまとめていければ問題ないのですが、数式的に何が言えればよいのかまで含めた力が必要です。

解いていて、「難易度自体は標準だけど、『要するに○○が言えればいい』という噛み砕き力がないと、嚙みきれずに前に進められない受験生も多いかな」と思いました。

頭より顎の力が必要でしょう。

標準~やや難の絶妙な難易度です。

総括

微積を含めた数Ⅲの比重が大きいのは従来通りだなという印象です。

 

阪大の問題は一見して重たさを感じ、やってみて重たさを感じ、という問題が多いという印象ですが、今年に関しては見た目はともかくやってみると意外と計算自体は少なかったりします。

その分、今年は導出過程の部分に気を配る必要がある問題が多く、多くの受験生にとって完答を阻む要素が多かったと思います。

第3問、第4問、第5問の3題は、導出過程に傷があると染みる問題で、できたつもりになりやすい問題が並んでいました。

また、第1問、第2問は一見して大体の方針がつかめたのですが、後半3題は「やってみないと何とも言えないな」という問題でした。

問題自体は教材として扱いたい問題が多く、よく練られているなと感じます。

(欲を言えば、見た目に華があって受験生だけでなく、未来の高校生たちが「考えてみようかな」という気をそそるような問題があるといいなと思います。)

見通しをもちながら解き進める力と、ある程度手を動かしながらその中で見通しを探る力の両輪を鍛えていくことの必要性を感じるセットとも言えると思います。

 

2021年度 大阪大学理系 各解説記事

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