月別アーカイブ：2020年11月

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   チェビシェフの多項式と呼ばれる有名テーマを扱った問題で、大学入試においても様々な角度から切り込まれています。 初見だと厳しい内容もありますので、代表的な問題を今回シリーズものとして扱うことにしました。 今回は第２弾です。 このシリーズのまとめはこちら 今回はチェビシェフの多項式 \(T_{n}(x)\) が満たす漸化式について考えます。 チェビシェフの多項式 \(T_{n}(x)\) は チェビシェフの多項式が満たす漸化式 $$ ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   チェビシェフの多項式と呼ばれる有名テーマを扱った問題で、大学入試においても様々な角度から切り込まれています。 初見だと厳しい内容もありますので、代表的な問題を今回シリーズものとして扱うことにしました。 このシリーズのまとめはこちら   まず、 \(\cos{n\theta}=T_{n}(\cos{\theta})\) を満たす多項式 \(T_{n}(x)\) のことを（第１種）チェビシェフの多項式といいます。 例をあげ ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   \(a \ , \ b \ , \ c\)  自体も素数、\(a-b-8 \ , \ b-c-8\)  も素数、と素数祭りです。 整数問題の基本は 整数問題の有力方針 積の形から約数の拾い上げ 余りで分類 評価する（範囲を絞る） です。 簡単な例を以下に折りたたんでおきますので、確認したい方は以下の「＋マーク」をクリック（タップ）して読んでください。 + クリック（タップ）して続きを読む 積の形から約数の拾い上げ 例題：\(x ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）     よく出てくるテーマです。 手を動かして実験してみると、難関大志望者なら、要領はつかめると思います。 頭の中で理解していても、それを紙面に表現できるかは別問題です。 受験生にやらせてみると 「う～ん、言いたいことは分かるんだけどさ」 と言いたくなるような記述をしてくる受験生が大量にいます。 内容とともに、書き方についても学んでほしい一問です。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   連続する自然数の和で表せるかどうかを考える問題で、しばしば出題される話題です。 その中でもテーマになりやすい内容を一通り盛り込んでいる本問を選びました。 どうせなら２０２０年度入試で出題すればよかったのに。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む \(n\) から始まる連続自然数の和として \(S=n+(n+1)+(n+2)+\cdots+(n+m)\)  ( \(m\) は自然数 ) と設定し ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   【他の有名曲線を扱った問題はこちら】   さて、本問は円の伸開線（インヴォリュート）と呼ばれる有名曲線を扱った問題です。 円に巻き付いた糸をたわむことなくほどいていったときの糸の先の軌跡です。 セロハンテープを伸ばすイメージに似ていますね。 本問では丁寧に図がついていますが、イメージして自分で図がかけると、立式のポイントを体で覚えられると思います。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   【他の有名曲線を扱った問題はこちら】   さて、本問はサイクロイド３兄弟の一人、ハイポサイクロイドという有名曲線を扱った問題です。 サイクロイドとは ガムを踏んだタイヤが転がったときの、ガムの軌跡 です。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む どれだけ回転したかを表す量 \(\theta\) を導入すれば、点 \(P\) \((x \ , \ y)\) について $$\begin{e ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 【他の有名曲線を扱った問題はこちら】   さて、本問はサイクロイド３兄弟の一人、エピサイクロイドという有名曲線を扱った問題です。 サイクロイドとは ガムを踏んだタイヤが転がったときの、ガムの軌跡 です。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む どれだけ回転したかを表す量 \(\theta\) を導入すれば、点 \(P\) \((x \ , \ y)\) について $$\begin{eqnarray} ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）       一見すると複雑な漸化式です。 そこで「実験してごらん」という設問を (1) につけてくれています。 この実験から何を見出すかが大切です。 （以下ネタバレ注意）     + クリック（タップ）して続きを読む この漸化式は「\(a_{n}\) が分かっている」という前提では \(a_{n+1}^{2}-■a_{n+1}+▲=0\)  という \(a_{n+1}\) についての２次方程式 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）     \(a_{n+1}=\displaystyle \frac{a_{n}+b_{n}}{2}\) ,  \(b_{n+1}=\sqrt {a_{n}b_{n}}\) という漸化式で与えられる数列  {\(a_{n}\)} ,  {\(b_{n}\)}  の極限は 算術幾何平均 と呼ばれます。（ガウスによって深く研究された。） 本問は  \(b_{n+1}=\sqrt {a_{n+1}b_{n}}\)  なので、同じ括 ...