３次方程式の解の絶対値【2004年度 岡山大学】

最初の一手

ひとまず、$x^{3}+px^{2}+qx+r=0$ という一般性の高い３次方程式を

「直接解いてどうのこうのする」

という人はいないと思います。

方程式の解の扱いについては

という路線が大枠ですが、虚数解に関する条件を活かすということになると、「解と係数の関係」が有力な方針です。

ただ、むやみやたらに解を設定してもいけません。

実数係数３次方程式の解のもち方

実数係数の３次方程式は

ということが言えます。

さらに条件 (b) から、今回の３次方程式は

$x=\alpha \ , \ \bar{\alpha} \ , \ t$

という解のもち方となります

ただし $t$ は実数です。

解と係数の関係を用いると

解と係数の関係から

$$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \alpha+\bar{\alpha}+t= -p \\ \alpha \bar{\alpha}+t\bar{\alpha}+t\alpha=q \\ \alpha \bar{\alpha} t=-r \end{array} \right. \end{eqnarray}$$

という式が成立します。

ここで条件 (b) が効いてきます。

$|\alpha|^{2}=1$ ,  すなわち

$\alpha \bar{\alpha}=1$

です。

これを先ほどの連立方程式で使ってみると

$$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \alpha+\bar{\alpha}+t= -p \\ 1+t(\alpha+\bar{\alpha})=q \\ t=-r \end{array} \right. \end{eqnarray}$$

とほぐせます。

ここから何をしたらよいのかを見失ってしまう人も少なからずいると思います。

ここからが冒頭述べた、

場当たり的に解いてしまうと$\cdots$

といった話です。

条件 (a) の使い方

条件 (a) は

$(p \ , \ q)=(\pm r \ , \ \pm r)$ (複号任意)

ということを意味します。

つまり、最終的には条件 (a) によって、$p$ ,  $q$ は消去できるということです。

条件１つで１文字消去

そうなってくると

$$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \alpha+\bar{\alpha}+t= -p \\ 1+t(\alpha+\bar{\alpha})=q \\ t=-r \end{array} \right. \end{eqnarray}$$

という先ほど立てた式は実質

$\alpha$ ,  $t$ ,  $r$  という３文字分の条件ということになります。

最終的に$(p \ , \ q)=(\pm r \ , \ \pm r)$ という条件 (a) によって仕留めることを考えると

という構想をたてたいところです。

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