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機械的な態度になりがちな漸化式の問題の中で、分析力や構想力を要する良問です。
個性の強さゆえ、一度ネタバレすると新鮮味は薄れます。
初見の方はぜひ限界まで考え抜いてほしいと思います。
（以下ネタバレ注意）
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\(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=S_{n}\) とおきます。
\(S_{n}=(a_{n}+\displaystyle \frac{1}{4})^{2}\) という和の情報がありますから
\(a_{n}=S_{n}-S_{n-1}\) (\(n \geq 2\))
を用いてほぐしていくと
\((a_{n+1}+a_{n})(a_{n+1}-a_{n}-\displaystyle \frac{1}{2})=0\)
という関係式を得ることになります。
これが意味することは、各々の \(n\) に対して
\(a_{n+1}=-a_{n}\) \(\cdots ①\) \(a_{n+1}=a_{n}+\displaystyle \frac{1}{2}\) \(\cdots ②\)
のいずれかが成り立つということです。
つまり、
\(a_{2}\) を出すのに ① か ② どちらを使う？
\(a_{3}\) を出すのに ① か ② どちらを使う？
のように、毎回毎回 ① か ② の選択が迫られるということです。
どのタイミングでどちらの漸化式を使うのかを考える部分が本問の醍醐味です。
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