本問の流れとしては
step
1焦点が共通であることを翻訳する
楕円 C_{1} の焦点 (\sqrt{\alpha^{2}-\beta^{2}} \ , \ 0) と、双曲線 C_{2} の焦点 (\sqrt{a^{2}+b^{2}} \ , \ 0) が一致することから、
\sqrt{\alpha^{2}-\beta^{2}}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}
すなわち
\alpha^{2}-\beta^{2}=a^{2}+b^{2}
を得ます。
step
2交点をP(p \ , \ q) とおき、接線の式を立てる
楕円 C_{1} と 双曲線 C_{2} の交点を P として、先に文字で (p \ , \ q) などとおきます。
これにより、P における l_{1} , l_{2} の接線の式はそれぞれ
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{px}{\alpha^{2}}+\displaystyle \frac{qy}{\beta^{2}} = 1 \\
\displaystyle \frac{px}{a^{2}}-\displaystyle \frac{qy}{b^{2}} = 1
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
ということになります。
step
3l_{1} , l_{2} の傾きを出す
今回、楕円 C_{1} と 双曲線 C_{2} の交点は座標軸上にはありませんから、l_{1} , l_{2} の接線には傾きがあります。
その傾きをそれぞれ m_{1} , m_{2} とすると
m_{1}=-\displaystyle \frac{\beta^{2}p}{\alpha^{2}q} , m_{2}=\displaystyle \frac{b^{2}p}{a^{2}q}
となり、
m_{1}m_{2}=-\displaystyle \frac{p^{2}}{q^{2}}(\displaystyle \frac{b\beta}{a\alpha})^{2}
を得ることになります。
step
4交点 P(p \ , \ q) が満たすべき条件を整理する
p , q は
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{p^{2}}{\alpha^{2}}+\displaystyle \frac{q^{2}}{\beta^{2}} = 1 \\
\displaystyle \frac{p^{2}}{a^{2}}-\displaystyle \frac{q^{2}}{b^{2}} = 1
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
を満たしています。
Step 3 で得た形から p^{2} , q^{2} についての連立方程式と見たくなります。
よって、p^{2} , q^{2} についての連立方程式として解くと
p^{2}=\displaystyle \frac{\alpha^{2}a^{2}(\beta^{2}+b^{2})}{\beta^{2}a^{2}+\alpha^{2}b^{2}} , q^{2}=\displaystyle \frac{\beta^{2}b^{2}(\alpha^{2}-a^{2})}{\beta^{2}a^{2}+\alpha^{2}b^{2}}
ということになります。
比をとってみると、消える部分は消えますし、Step 1 で得た条件式は
\alpha^{2}-a^{2}=\beta^{2}+b^{2}
の形で使えばよいことが分かります。
全体的に
目標は２つの接線が直交するという「直交条件を示す」という分かりやすい目標であるため、やるべきことが全く見えないということはないと思います。
ただ、計算量は多く、計算のスジが悪いとグチャグチャになりかねません。
使ってよい手持ちの条件と、条件の翻訳で得られた形を観察して、ある程度の見通しを持ちながら計算を進める必要があるでしょう。
試験場で初見で出くわした場合、なおさら平常心を奪われると思います。
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