格子辺【隣接する格子点を結ぶ線分】【1998年度 大阪大学】

小さい数で実験してみる

$(630 \ , \ 5400)$ は数が大きいので、もっと小さい数で要領を掴んでみたいと思います。

例えば $(4 \ , \ 6)$ ぐらいで実験してみます。

$x$ 軸に平行な格子辺との交点について

というように、なにも考慮しなければ、６本の水平線とぶつかるわけです。

このうち、ちょうど格子点を通る回数（この実験の場合２回）を除くことになりますから

$6-2=4$【回】

格子辺とぶつかることになります。

$y$ 軸に平行な格子辺との交点について

同様に考えれば、全部で４本ある鉛直線のうち、ちょうど格子点を通る回数（２回）を除いて

$4-2=2$ 【回】

格子辺とぶつかることになります。

先ほどの $4$ 回と併せると、$4+2=6$ 【回】格子辺と交わることになります。

数が大きくなっても

$(630 \ , \ 5400)$ と数が大きくなったとしても、要領は同じです。

水平線は $5400$ 本あり、鉛直線は $630$ 本あります。

このうち、格子点を通る回数が $m$ 回であった場合、

• 水平な格子辺とぶつかる回数は $5400-m$ 回
• 鉛直な格子辺とぶつかる回数は $630-m$ 回

ということになりますから、合計

$6030-2m$ 回

格子辺とぶつかることになるわけです。

したがって、実質的には

何個の格子 "点" を通るのか

という問題に帰着することになります。

この大枠の考え方や要領は、(1) で考える直線だろうが、(2) で考える曲線だろうが同じです。

格子点の基本について

本問とは別の味ですが、そもそもの基本である「格子点の数え上げ」については

で扱っています。

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