円の弦の通過領域【２円の交点を結ぶ線分】【1994年度 東京都立大学】

円 \(C'\) の動き

円 \(C'\) は半径が 2 で一定です。

中心についてはひとまずは \((s \ , \ t)\) とおき、

\((x-s)^{2}+(y-t)^{2}=4\)

と立式します。

これが \(P\) \((1 \ , \ 0)\) を通るので、\((1-s)^{2}+(0-t)^{2}=4\) ,  すなわち

\((s-1)^{2}+t^{2}=4\)

を得ます。

つまり、円 \(C'\) の中心は、中心が \((1 \ , \ 0)\) ,  半径 2 の円周上を動きます。

といった感じでしょうか。

とは言え、円 \(C'\) の動きは追えても、それによってできる共有弦の動きを追っていくのは難しいでしょう。

そこで逆像法の出番です。

そのために２円の交点を結ぶ直線の式を捉えます。

２円の交点を結ぶ直線の式は \(\cdots\)

円 \(C\)：\(x^{2}+y^{2}=4\) \(\cdots\) ①

円 \(C'\)：\((x-s)^{2}+(y-t)^{2}=4\) \(\cdots\) ②

の交点を結ぶ直線の式は①\(-\)②で得られる

\(2sx-s^{2}+2ty-t^{2}=0\) \(\cdots\) ③

として与えられます。

なぜなら ① ,  ② を満たす \((x \ , \ y)\) （すなわち交点）は ③ を満たしており、

交点が直線③上にある

ということになるからです。

交点同士を結ぶ直線は一意的に定まることを考えれば、直線③が２交点を通る直線ということに他なりません。

線分の通過領域は厄介

今回求めるのは「線分」の通過領域ということで、逆像法を用いたとしても大変です。

本問で求めたい通過領域は

\(x^{2}+y^{2} \leq 4\) という円 \(C\) の内部に存在する

ということになります。

そこで、「一旦「直線」の通過領域を求め、それを円 \(C\) でカット」するという方向性を睨んでいきます。

この後は、

という逆像法の考え方で仕留めていきます。

場数を踏みたい方は

逆像法による通過領域の考え方を運用していく問題は場数を踏んでおくことも大切です。

場数を踏みたい方は

も活用してください。

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