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ピタゴラス数 第１講【平方剰余】【2004年度 旭川医科大学】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） \(a^{2}+b^{2}=c^{2}\) を満たす自然数 \((a \ , \ b \ , \ c \ )\) の組をピタゴラス数と言い、特に \(a\) , \(b\) , \(c\) のどの２つも互いに素であるとき、原始ピタゴラス数と言います。 原始ピタゴラス数に関する入試問題は頻出であり、今回は何題かピックアップしてシリーズものとして取り上げたいと思います。 シリーズ一覧はこちら 今回は第１講ということで ...
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ピタゴラス数 第２講【原始ピタゴラス数の一般解】【1999年度 京都大学】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） ピタゴラス数についてのテーマ別演習第２講です。 シリーズ一覧はこちら 第２講では原始ピタゴラス数の一般解について考えます。 この問題だけ見ると、 「なんだこのオチ」 と思うかもしれませんが、実はこのオチからもう少し話を進めると 原始ピタゴラス数の一般解 \(m\) , \(n\) を \(m \gt n\) を満たす互いに素で、偶奇の異なる自然数とする。 この \(m\) , \(n\) を用いて、\(a^{ ...
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ピタゴラス数 第３講【拡張版の等式】【2000年度 横浜国立大学】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） ピタゴラス数についてのテーマ別演習第３講です。 シリーズ一覧はこちら 今回はピタゴラス数の拡張として \(a^{2}+b^{2}+c^{2}=d^{2}\) を満たす自然数 \(a\) , \(b\) , \(c\) , \(d\) について扱います。 （以下ネタバレ注意） + クリック（タップ）して続きを読む 聞かれていることについては第１講で扱った平方剰余に近いものがあります。 そこで、(1) で ...
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ピタゴラス数 第４講【イェスマノヴィッツ予想】【有名事実】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） シリーズ一覧はこちら 非常にシンプルな問題ですが、難問です。 本問は歴史的には1955年にシェルピンスキーという数学者によって解決されました。 その後、この問題は一般のピタゴラス数についても成り立つか？という疑問に変わっていきます。 すなわち \(a\) , \(b\) , \(c\) を \(a^{2}+b^{2}=c^{2}\) を満たす正の整数とする。 \(a^{x}+b^{y}=c^{z}\) を満たす正の ...
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非常にシンプルな問題ですが、難問です。
本問は歴史的には1955年にシェルピンスキーという数学者によって解決されました。
その後、この問題は一般のピタゴラス数についても成り立つか？という疑問に変わっていきます。
すなわち
\(a\) , \(b\) , \(c\) を \(a^{2}+b^{2}=c^{2}\) を満たす正の整数とする。
\(a^{x}+b^{y}=c^{z}\) を満たす正の整数 \(x\) , \(y\) , \(z\) は
\(x=2\) , \(y=2\) , \(z=2\)
のときに限られるか？
という問題になるわけです。
提唱者の名前から「イェスマノヴィッツ予想」と呼ばれています。
多くの具体的なピタゴラス数についてはこの予想が正しいことが証明されましたが、一般論としてはまだ解決されていません。
ABC予想の解決がこのイェスマノヴィッツ予想の部分的な解決を含んでいるらしく、イェスマノヴィッツ予想の解決も期待したいところです。
ただ、ABC予想については京都大学の望月新一教授により解決が宣言されたものの、国際的には完全な同意をうけていない状況であり、今後どういった展開になるのかに注目したいところです。
本問はそんな背景を持つ由緒ある問題なのですが、高校数学の範囲内で解決は可能ですし、手法自体は大学入試においてもよく使う手法ばかりです。
ぜひチャレンジしてみてください。
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