ニュートンの補間法【1995年度 甲南大学】

(1) について

$f(x)$ を

$f(x)=p \cdot \displaystyle \frac{x(x-1)(x+1)}{6}+q \cdot \displaystyle \frac{x(x-1)}{2}+rx+s$

という形で表すからには

$f(-1)$ ,  $f(0)$ ,  $f(1)$

を調べたくなるでしょう。

$s$ について

まずは $p$ ,  $q$ ,  $r$ を含む項が消えるよう、$x=0$ を代入してみます。

すると

$f(0)=s=d$

ということで、$s$ については解決しました。

$r$ について

次に、$p$ , $q$ を含む項が消えるよう、$x=1$ を代入してみます。

すると

$f(1)=r+s=a+b+c+d$

を得て、$s=d$ であったことを考えると

$r=a+b+c$

となり、$r$ についても解決しました。

$q$ について

$p$ を含む項が消えるよう、$x=-1$ を代入してみます。

すると

$f(-1)=q-r+s=-a+b-c+d$

となり、$s=d$ ,  $r=a+b+c$ ですから、$q$ も $a$ ,  $b$ ,  $c$ ,  $d$ を用いて表すことができ、解決です。

$p$ について

最後に、$x=2$ を代入してみると

$f(2)=p+q+2r+s=8a+4b+2c+d$

となり、$q$ ,  $r$ ,  $s$ が $a$ ,  $b$ ,  $c$ ,  $d$ を用いて表されていますから、$p$ も $a$ ,  $b$ ,  $c$ ,  $d$ を用いて表すことができ、解決します。

(2) について

$s$ は整数

$f(0)=s$ であり、$f(0)$ が整数であることから

$s$ は整数

ということになります。

$r$ は整数

$f(1)=r+s$

ということから

$r=f(1)-s$

ですから、$f(1)$ ,  $s$ が整数ということになると

$r$ も整数

ということが言えます。

$q$ は整数

$f(-1)=q-r+s$

ということから

$q=f(-1)+r-s$

となり、$f(-1)$ ,  $r$ ,  $s$ が整数ということになると

$q$ も整数

ということが言えます。

$p$ は整数

最後に

$f(2)=p+q+2r+s$

ということから

$p=f(2)-q-2r-s$

ということになり、$f(2)$ ,  $q$ ,  $r$ ,  $s$ が整数ということになると

$p$ も整数

となります。

連続 $k$ 整数の積

任意の整数 $n$ に対して

$f(n)=p \cdot \displaystyle \frac{n(n-1)(n+1)}{6}+q \cdot \displaystyle \frac{n(n-1)}{2}+rn+s$

であり、

• $p$ ,  $q$ ,  $r$ ,  $s$  は整数

と言えていますから、あとは、分数部分である

• $\displaystyle \frac{n(n-1)(n+1)}{6}$
• $\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}$

が任意の整数 $n$ に対して整数となることが言えれば解決です。

ここで

• $n(n-1)(n+1)$ は連続３整数の積なので、$3!$ の倍数
• $n(n-1)$ は連続２整数の積なので、$2!$ の倍数

ということが言えます。

なお、一般に

ということが言えます。

これより、

• $\displaystyle \frac{n(n-1)(n+1)}{6}$
• $\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}$

はともに整数ということになり、$f(n)$ は整数ということが言え、解決します。

ニュートンの補間法

$f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$

という $f(x)$ に対して、

$f(0)=s$ ,  $f(1)=r$ ,  $f(-1)=q$ ,  $f(2)=p$

としたとき、

• $f(x)$ を $p$ ,  $q$ ,  $r$ ,  $s$  (代入値) で表したい

ということを考えてみます。

まともにやると

通常

• $f(0)=d=s$
• $f(1)=a+b+c+d=r$
• $f(-1)=-a+b-c+d=q$
• $f(2)=8a+4b+2c+d=p$

という関係式を得て、これを $a$ ,  $b$ ,  $c$ ,  $d$  の連立方程式と見て解くという手順を経ます。

工夫すると

これを工夫し、

$f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x(x-1)+a_{3}x(x-1)(x+1)$

と設定してみると

• $f(0)=a_{0}=s$
• $f(1)=a_{0}+a_{1}=r$
• $f(-1)=a_{0}-a_{1}+2a_{2}=q$
• $f(2)=a_{0}+2a_{1}+2a_{2}+6a_{3}=p$

なので、

• $a_{0}=s$
• $a_{1}=r-a_{0}$
• $a_{2}=\displaystyle \frac{-a_{0}+a_{1}+q}{2}$
• $a_{3}=\displaystyle \frac{-a_{0}-2a_{1}-2a_{2}+p}{6}$

というように

$a_{0} \to a_{1} \to a_{2} \to a_{3}$

と順次 $p$ ,  $q$ ,  $r$ ,  $s$  という代入値で表せることになります。

$f(x)$ を代入値で表しなおしたものを

補間多項式

と言い、今回のやり方を

ニュートンの補間法

と言います。

ラグランジュの補間法

ニュートンの補間法のほかにも

ラグランジュの補間法

と呼ばれるものもあり、そちらについては

も参考にしてみてください。

整数値多項式

今回の問題のように

整数を代入したら、代入値も整数となる

という整数値多項式については

でも取り扱っています。

解答はコチラ