ニュートンの補間法【1995年度甲南大学】

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）

ニュートンの補間法と呼ばれるものが背景にある問題を扱います。

問題を解くこと自体はできるかもしれませんが、どこからそんな発想が出てきたのかは中々難しいものがあると思います。

多項式を代入値で表すという独特の考え方であり、過去の数学者たちの知恵のようなものですから勉強していないと天下り的に感じるのも無理はありません。

ひとまずは問題を解くことに集中し、余裕があればこの問題の出どころを見てみましょう。

ニュートンの補間法についての知識そのものが劇的に出来不出来に直結するということはないので、そこは安心してください。

（以下ネタバレ注意）

+ クリック（タップ）して続きを読む

(1) について

\(f(x)\) を

\(f(x)=p \cdot \displaystyle \frac{x(x-1)(x+1)}{6}+q \cdot \displaystyle \frac{x(x-1)}{2}+rx+s\)

という形で表すからには

\(f(-1)\) , \(f(0)\) , \(f(1)\)

を調べたくなるでしょう。

\(s\) について

まずは \(p\) , \(q\) , \(r\) を含む項が消えるよう、\(x=0\) を代入してみます。

すると

\(f(0)=s=d\)

ということで、\(s\) については解決しました。

\(r\) について

次に、\(p\) , \(q\) を含む項が消えるよう、\(x=1\) を代入してみます。

すると

\(f(1)=r+s=a+b+c+d\)

を得て、\(s=d\) であったことを考えると

\(r=a+b+c\)

となり、\(r\) についても解決しました。

\(q\) について

\(p\) を含む項が消えるよう、\(x=-1\) を代入してみます。

すると

\(f(-1)=q-r+s=-a+b-c+d\)

となり、\(s=d\) , \(r=a+b+c\) ですから、\(q\) も \(a\) , \(b\) , \(c\) , \(d\) を用いて表すことができ、解決です。

\(p\) について

最後に、\(x=2\) を代入してみると

\(f(2)=p+q+2r+s=8a+4b+2c+d\)

となり、\(q\) , \(r\) , \(s\) が \(a\) , \(b\) , \(c\) , \(d\) を用いて表されていますから、\(p\) も \(a\) , \(b\) , \(c\) , \(d\) を用いて表すことができ、解決します。

(2) について

\(s\) は整数

\(f(0)=s\) であり、\(f(0)\) が整数であることから

\(s\) は整数

ということになります。

\(r\) は整数

\(f(1)=r+s\)

ということから

\(r=f(1)-s\)

ですから、\(f(1)\) , \(s\) が整数ということになると

\(r\) も整数

ということが言えます。

\(q\) は整数

\(f(-1)=q-r+s\)

ということから

\(q=f(-1)+r-s\)

となり、\(f(-1)\) , \(r\) , \(s\) が整数ということになると

\(q\) も整数

ということが言えます。

\(p\) は整数

最後に

\(f(2)=p+q+2r+s\)

ということから

\(p=f(2)-q-2r-s\)

ということになり、\(f(2)\) , \(q\) , \(r\) , \(s\) が整数ということになると

\(p\) も整数

となります。

連続 \(k\) 整数の積

任意の整数 \(n\) に対して

\(f(n)=p \cdot \displaystyle \frac{n(n-1)(n+1)}{6}+q \cdot \displaystyle \frac{n(n-1)}{2}+rn+s\)

であり、

\(p\) , \(q\) , \(r\) , \(s\) は整数

と言えていますから、あとは、分数部分である

\(\displaystyle \frac{n(n-1)(n+1)}{6}\)
\(\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}\)

が任意の整数 \(n\) に対して整数となることが言えれば解決です。

ここで

\(n(n-1)(n+1)\) は連続３整数の積なので、\(3!\) の倍数
\(n(n-1)\) は連続２整数の積なので、\(2!\) の倍数

ということが言えます。

なお、一般に

重要事項

連続 \(k\) 整数の積は \(k!\) の倍数

ということが言えます。

これより、

\(\displaystyle \frac{n(n-1)(n+1)}{6}\)
\(\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}\)

はともに整数ということになり、\(f(n)\) は整数ということが言え、解決します。