実践演習 方程式・不等式・関数系

2進法の位取り【1未満の数の2進法表示】【2002年度 静岡大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

見た目に腰がひけてしまうかもしれませんが、根幹が押さえられればあっさりと終わります。

訊かれていることを表面上だけでなく、さらに踏み込んで解釈できればやるべきことが見えてくるでしょう。

(以下ネタバレ注意)

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10進法なら

例えば

\(k=1 \ , \ 2 \ , \ 3 \ , \ 4\) に対して \(a_{k}\) が \(0 \ , \ 1 \ , \ , \ 2 \ , \ \cdots 9\) とするとき

$$\displaystyle \frac{a_{1}}{10}+\displaystyle \frac{a_{2}}{10^{2}}+\displaystyle \frac{a_{3}}{10^{3}}+\displaystyle \frac{a_{4}}{10^{4}} \lt \displaystyle \frac{1}{3} \lt \displaystyle \frac{a_{1}}{10}+\displaystyle \frac{a_{2}}{10^{2}}+\displaystyle \frac{a_{3}}{10^{3}}+\displaystyle \frac{a_{4}}{10^{4}}+\displaystyle \frac{1}{10^{4}}$$

を満たす \(a_{1}\) ,  \(a_{2}\) ,  \(a_{3}\) ,  \(a_{4}\) を求めよ。

という問題であれば、困らないでしょう。

\(\displaystyle \frac{1}{3}=0.3333 \cdots \)

なので

\((a_{1} \ , \ a_{2} \ , \ a_{3} \ , \ a_{4})=(3 \ , \ 3 \ , \ 3 \ , \ 3)\)

となります。

これを2進法でやろうというのが本問の背景です。

2進法表示の手順

1未満の数を2進法で表すには

2をかけて整数部分を抽出する

という作業をします。

今回の \(\displaystyle \frac{3}{5}\) である \(0.6\) を2進法で表してみます。

step
1
2をかける

\(0.6 \times 2=1.2\)

step
2
整数部分を除く

\(1.2-1=0.2\)

step
3
2をかける

\(0.2 \times 2=0.4\)

step
4
整数部分を除く

\(0.4-0=0.4\)

step
5
2をかける

\(0.4 \times 2=0.8\)

step
6
整数部分を除く

\(0.8-0=0.8\)

step
7
2をかける

\(0.8 \times 2=1.6\)

step
8
整数部分を除く

\(1.6-1=0.6\)

元の \(0.6\) に戻ったので、以降同じことの繰り返しが起こります。

抽出した整数部分を上から読むと

\(1 \ , \ 0 \ , \ 0 \ , \ 1\)

ですから、

\(\displaystyle \frac{3}{5}=0.10011001 \cdots _{(2)}\)

ということになります。

イメージできなかったら

この

2倍して整数部分を抽出する

という操作のイメージがつかめなかった場合、慣れ親しんでいる10進法で考えてみるといいでしょう。

10倍して整数部分を抽出する

という操作をイメージするのです。

例えば、\(0.437\) は

step
1
10をかける

\(0.437 \times 10=4.37\) ( 整数部分は \(4\) )

step
2
整数部分を除く

\(4.37-4=0.37\)

step
3
10をかける

\(0.37 \times 10=3.7\) ( 整数部分は \(3\) )

step
4
整数部分を除く

\(3.7-3=0.7\)

step
5
10をかける

\(0.7 \times 10=7\) ( 整数部分は \(7\) )

step
6
整数部分を除く

\(7-7=0\)

\(0\) となってしまえば以降の操作ではずっと \(0\) となりますから、ここで終了です。

抽出した \(4 \ , \ 3 \ , \ 7\) という数字を小数点以下に並べれば、当たり前ですが

\(0.437\)

です。

(2) について

(1) に引き続き

2倍して整数部分を睨む

という方針です。

そのためには対数の整数部分を把握する必要があります。

対数がどのぐらいの数かきちんと見積もれるかという基本にかかってくるでしょう。

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