実践演習 方程式・不等式・関数系

焦点を共有する楕円と双曲線の性質【楕円と双曲線の光学的性質】【2007年度 北海道大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

有名な2次曲線の性質の問題です。

背景には「楕円と双曲線の光学的性質」があります。

 

楕円の光学的性質

 

\(F\) から出た光は \(F'\) に向かって反射します。

つまり、接線 \(l_{1}\) は \(\angle FPF'\) の外角の二等分線です。

 

双曲線の光学的性質

 

 

\(F\) から出た光は \(\overrightarrow{ F'P }\) 方向に反射します。

つまり、接線 \(l_{2}\) は \(\angle FPF'\) の内角の二等分線です。

 

内角の二等分線と外角の二等分線は直交する

一般に、図のように、\(2\theta_{1}+2\theta_{2}=180^{\circ}\) なので、

\(\theta_{1}+\theta_{2}=90^{\circ}\)

ということになり、内角の二等分線と外角の二等分線は直交します。

 

上で述べたことははあくまで、光学的性質を認めた上での話であり、本問を解くにあたっては前面に押し出すわけにはいきません。

式的なバックボーンとともに示すことになります。

(以下ネタバレ注意)

 

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本問の流れとしては

step
1
焦点が共通であることを翻訳する

楕円 \(C_{1}\) の焦点 \((\sqrt{\alpha^{2}-\beta^{2}} \ , \ 0)\) と、双曲線 \(C_{2}\) の焦点 \((\sqrt{a^{2}+b^{2}} \ , \ 0)\)  が一致することから、

\(\sqrt{\alpha^{2}-\beta^{2}}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\)

すなわち

\(\alpha^{2}-\beta^{2}=a^{2}+b^{2}\)

を得ます。

step
2
交点を\(P(p \ , \ q)\) とおき、接線の式を立てる

楕円 \(C_{1}\) と 双曲線 \(C_{2}\) の交点を \(P\) として、先に文字で \((p \ , \ q)\) などとおきます。

これにより、P における \(l_{1}\) ,  \(l_{2}\) の接線の式はそれぞれ

$$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{px}{\alpha^{2}}+\displaystyle \frac{qy}{\beta^{2}} = 1 \\
\displaystyle \frac{px}{a^{2}}-\displaystyle \frac{qy}{b^{2}} = 1
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$$

ということになります。

step
3
\(l_{1}\) ,  \(l_{2}\) の傾きを出す

今回、楕円 \(C_{1}\) と 双曲線 \(C_{2}\) の交点は座標軸上にはありませんから、\(l_{1}\) ,  \(l_{2}\) の接線には傾きがあります。

その傾きをそれぞれ \(m_{1}\) ,  \(m_{2}\) とすると

\(m_{1}=-\displaystyle \frac{\beta^{2}p}{\alpha^{2}q}\) ,  \(m_{2}=\displaystyle \frac{b^{2}p}{a^{2}q}\)

となり、

\(m_{1}m_{2}=-\displaystyle \frac{p^{2}}{q^{2}}(\displaystyle \frac{b\beta}{a\alpha})^{2}\)

を得ることになります。

step
4
交点 \(P(p \ , \ q)\) が満たすべき条件を整理する

\(p\) ,  \(q\) は

$$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{p^{2}}{\alpha^{2}}+\displaystyle \frac{q^{2}}{\beta^{2}} = 1 \\
\displaystyle \frac{p^{2}}{a^{2}}-\displaystyle \frac{q^{2}}{b^{2}} = 1
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$$

を満たしています。

Step 3 で得た形から \(p^{2}\) ,  \(q^{2}\)  についての連立方程式と見たくなります。

よって、\(p^{2}\) ,  \(q^{2}\)  についての連立方程式として解くと

\(p^{2}=\displaystyle \frac{\alpha^{2}a^{2}(\beta^{2}+b^{2})}{\beta^{2}a^{2}+\alpha^{2}b^{2}}\) ,  \(q^{2}=\displaystyle \frac{\beta^{2}b^{2}(\alpha^{2}-a^{2})}{\beta^{2}a^{2}+\alpha^{2}b^{2}}\)

ということになります。

比をとってみると、消える部分は消えますし、Step 1 で得た条件式は

\(\alpha^{2}-a^{2}=\beta^{2}+b^{2}\)

の形で使えばよいことが分かります。

全体的に

目標は2つの接線が直交するという「直交条件を示す」という分かりやすい目標であるため、やるべきことが全く見えないということはないと思います。

ただ、計算量は多く、計算のスジが悪いとグチャグチャになりかねません。

使ってよい手持ちの条件と、条件の翻訳で得られた形を観察して、ある程度の見通しを持ちながら計算を進める必要があるでしょう。

試験場で初見で出くわした場合、なおさら平常心を奪われると思います。

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