テーマ別演習 漸化式の基本パターン

漸化式の解法基本パターン 第7講【隣接3項間漸化式への対応】

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漸化式の解法基本パターン 第1講【2項間漸化式:ズラせば等比数列】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 漸化式は問題を解く中で処理しなければならない場面が多々あります。 確率漸化式などの確率や場合の数の分野との融合 点列など、座標との融合 整数問題との融合 など、漸化式は道具として使う場面が多々あります。 漸化式が立式できても、それが解けないとなると意味がありませんから、基本的な漸化式についてはきちんと処理できる必要があります。 そこで基本的な漸化式について一通りこのシリーズで押さえておきたいと思います このシリーズの一覧はこちら   ...

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漸化式の解法基本パターン 第2講【2項間漸化式:心霊写真型】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) このシリーズの一覧はこちら   前回の第1講で扱った Type 1 \(a_{n+1}=pa_{n}+q\)  ( \(p \neq 1\) ) の派生形として今回は Type 2 (心霊写真型) \(a_{n+1}=pa_{n}+q^{n}\)  ( \(p \neq 1\) )  ( \(q\) の肩になんか乗ってる ) というタイプを扱います。   この心霊写真型の除霊の仕方は2パターンあり 心霊写真型の除霊の仕方 ...

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漸化式の解法基本パターン 第3講【2項間漸化式:分数型】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) このシリーズの一覧はこちら   漸化式基本パターン第3講では、「分数型」の漸化式を扱います。 まずは分数型の中でも簡単な形(特殊な形)である 分数漸化式(メタボ型) \(a_{n+1}=\displaystyle \frac{ra_{n}}{pa_{n}+q}\) を考えます。 分数の形がなんとなく△の形をしており、引き締まっておりません。 逆数を取ると \(\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}=\disp ...

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漸化式の解法基本パターン 第4講【2項間漸化式:特性方程式使うと事故る型】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   このシリーズの一覧はこちら   漸化式の解法基本パターン第4講では 特性方程式使うと事故る型 \(a_{n+1}=pa_{n}+An+B\) というタイプをやっていきます。 長ったらしいネーミングですが、逆に一回事故った方が理解が深まると思います。 (もっといいネーミングがあれば募集します。)   文字のままやっててもピンとこないかもしれませんので、本問の (1) を例にとって、敢えて事故ってみます。 誤答 ...

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漸化式の解法基本パターン 第5講【2項間漸化式:そうだ、logをとろう型】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) このシリーズの一覧はこちら   漸化式の解法基本パターン第5講では そうだ、log をとろう型 \(a_{n+1}^{p}=Aa_{n}^{q}\) というタイプを扱います。 両辺底が \(A\) の対数をとると \(p\log_{A}a_{n+1}=q\log_{A}a_{n}+1\) となり、\(b_{n}=\log_{A}a_{n}\) とおくと \(b_{n+1}=\displaystyle \frac{q}{p}b_{n} ...

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漸化式の解法基本パターン 第6講【2項間漸化式:変数倍型】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) このシリーズの一覧はこちら   第6講では「変数倍」型を扱います。 変数倍型 $$a_{n+1}=f(n)a_{n}+A$$ 基本的に\(a_{n+1}=pa_{n}+\cdots\) という「定数倍」であれば、多少のイレギュラーこそあれど、等比数列としての処理に帰着することになります。 今回のように「変数倍」になってくると、形一つで対応が変わってきます。 このあたりを体系的にまとめるのは難しいでしょう。 (1) ,  (2)  は ...

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漸化式の解法基本パターン 第7講【隣接3項間漸化式への対応】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) このシリーズの一覧はこちら   第7講では3項間漸化式を扱います。 3項間漸化式 $$a_{n+2}+pa_{n+1}+qa_{n}=0$$ この3項間漸化式の狙い筋は 狙い筋 $$a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta(a_{n+1}-\alpha a_{n})$$ という形に変形することで、等比数列の形として処理することです。 つまり、 \(a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta(a_{n+1 ...

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漸化式の解法基本パターン 第8講【2種類の連立漸化式への対応】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   このシリーズの一覧はこちら   第8講では「連立漸化式」を扱います。 連立漸化式の代表的な解法としては2つあります。 連立漸化式の代表的方針 1文字消去 上手い倍率を見つけて辺々操作 それぞれについて見てみます。 1文字消去路線について 今回の (1) を例にとってみます。 消しやすい第2式に注目すれば、\(a_{n}=b_{n+1}-b_{n}\) と見ることができます。 第1式に代入するために番号を 1 つ上げれば ...

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第7講では3項間漸化式を扱います。

3項間漸化式

$$a_{n+2}+pa_{n+1}+qa_{n}=0$$

この3項間漸化式の狙い筋は

狙い筋

$$a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta(a_{n+1}-\alpha a_{n})$$

という形に変形することで、等比数列の形として処理することです。

つまり、

  • \(a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta(a_{n+1}-\alpha a_{n})\) と変形したい。
  • そんなうまい \(\alpha\) ,  \(\beta\)  を見つけたい。

という気持ちが大切です。

 

そして、そんなうまい \(\alpha\) ,  \(\beta\) の正体は

\(x^{2}+px+q=0\) の 2 解

となっています。

この \(x^{2}+px+q=0\) を特性方程式と言います。

 

特性方程式の2解を考えればよい理由

$$a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta(a_{n+1}-\alpha a_{n})$$

これを整理すると

$$a_{n+2}-(\alpha+\beta)a_{n+1}+\alpha\beta a_{n}=0$$

となります。

つまり、最初に与えられた漸化式

\(a_{n+2}+pa_{n+1}+qa_{n}=0\)

を変形して

\(a_{n+2}-(\alpha+\beta)a_{n+1}+\alpha\beta a_{n}=0\)

となればよいので、

$$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\alpha+\beta=-p \\
\alpha\beta=q
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$$

となる \(\alpha\) ,  \(\beta\) を考えればよく、それは解と係数の関係から \(x^{2}+px+q=0\) の 2 解ということになります。

この \(\alpha\) ,  \(\beta\) を見つけた後の対応です。

 

α と β が異なるとき

$$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta(a_{n+1}-\alpha a_{n}) \\
a_{n+2}-\beta a_{n+1}=\alpha(a_{n+1}-\beta a_{n})
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$$

と2通りに変形できます。

これにより、

$$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
a_{n+1}-\alpha a_{n}=f_{1}(n) \\
a_{n+1}-\beta a_{n}=f_{2}(n)
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$$

という形の2つの式を得るため、これを辺々引くことによって、\(a_{n}\) を求めることができます。

 

α=β のとき

先ほどと違い

\(a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta(a_{n+1}-\alpha a_{n})\)

という1通りにしか変形できませんが、これを処理すると

\(a_{n+1}-\alpha a_{n}=(a_{2}-\alpha a_{1})\cdot \beta^{n-1}\)

という形を得ます。

これは第2講

漸化式の解法基本パターン 第2講【2項間漸化式:心霊写真型】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) このシリーズの一覧はこちら   前回の第1講で扱った Type 1 \(a_{n+1}=pa_{n}+q\)  ( \(p \ ...

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で扱った「心霊写真型」(肩に何か乗ってる)です。

先ほどの \(\alpha \neq \beta\) のときは、処理が早いから2通りの変形をしただけであって、

元々は1通りで変形できれば十分

ということが言えます。

 

3項間漸化式は確率漸化式や、その他の分野との融合問題などにおいて処理しなければならない場面が多々ありますので、確実に捌ききれるようにしておきましょう。

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