実践演習 数列系

整数部分と小数部分を扱った数列【1981年度 東京工業大学】

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以後呼びやすさのため、区間  \([0 \ , \ \displaystyle \frac{1}{2})\)  を左側区間、\((\displaystyle\frac{1}{2} \ , \ 1)\) を右側区間と呼びます。

\(2^{n-1}\alpha\)  ですが、これは初項 \(\alpha\) ,  公比 \(2\) の等比数列の一般項です。

どんどん2をかけていく際に、小数部分が左側区間と右側区間を交互に飛び交うイメージですね。

とりあえず、題意を満たすような一例やモデルケースを手探りでもいいから探したいということで、まずは実験してみて様子を掴んでいきます。

(以下ネタバレ注意)

 

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\(b_{1}=\alpha\) ですから、条件を考えると \(\alpha\) は左側区間にいます。

つまり、

$$0 \lt \alpha \lt \displaystyle \frac{1}{2} \ \cdots \ ①$$

ということになります。

これに2をかけると、\(0 \lt 2\alpha \lt 1\)  を得ますから、\(b_{2}=2\alpha\) です。

今度はこれが右側区間に入っていることになりますから、\(\displaystyle \frac{1}{2} \lt 2\alpha \lt 1\)

すなわち

$$\displaystyle \frac{1}{4} \lt \alpha \lt \displaystyle \frac{1}{2} \cdots \ ②$$

①、②より

$$\displaystyle \frac{1}{4} \lt \alpha \lt \displaystyle \frac{1}{2}$$

を得ることになります。

実験するなら簡単な数字の方がいいですから、とりあえず \(\alpha=\displaystyle \frac{1}{3}\) で実験してみます。

どんどん \(2\) をかけていくと

\(\displaystyle \frac{1}{3} \ ,  \  \ \ \displaystyle \frac{2}{3} \ \ , \  \  1+\displaystyle \frac{1}{3} \ , \  \  \ 2+\displaystyle \frac{2}{3} \  \ \cdots\)

これは題意を満たすように小数部分が、左側区間と右側区間を飛び交っています。

これについては帰納法などで示せるでしょうが、問題は

「これ以外に題意を満たすような \(\alpha\) が存在するかどうか」

をどうやって調べるかです。

ここから先はぜひ解答を見る前に考えてほしいところです。

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