実践演習 数列系

合成写像と定数関数【膨らむfへの対応】【1997年度 新潟大学】

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斬新な問題で、一見しただけでは様子がつかめないと思います。

抽象的な関数であり、相当な実力が試されます。

トップレベルの受験生にやらせてみても結構四苦八苦しています。

難問ですが、考え抜いた際の解決に至ったときの感動は大きいと思います。

まずはぜひ考え抜いてみてください。

(以下ネタバレ注意)

 

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例えば、\(f(1)=f(f(12))=f(f(f(23)))=\cdots\) というように、\(n\) が小さいと \(f\) が膨らんでいくだけです。

そこで、\(n=100\) から実験してみると

\(f(100)=f(f(111))=f(101)=91\)

\(f(99)=f(f(110))=f(100)=91\)

\(f(98)=f(f(109))=f(99)=91\)

と帰納的にどんどん分かっていきますから、証明の方針としては数学的帰納法の一手でしょう。

普段の帰納法とは違い、

\(n=100\) で成立するから \(n=99\) で成立する

\(n=99\) で成立するから \(n=98\) で成立する

といったように、「下る方向」での帰納法です。

つまり \(n=k\) で成立を仮定したときに \(n=k-1\) でも成立するということを目指すことになります。

方向性は決まったとしても、この先も次々と考えるべきことや、懸念すべきことが次々と襲い掛かってきます。

それらを跳ねのけて一つずつ解決するためには確かな力が必要です。

普段中々経験しない「下る方向」の帰納法であることに加え、前段仮定の使い方においても工夫を要します。

機械的な帰納法しか経験したことのない人にとっては、「帰納法の心」が学べる一問でしょう。

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