テーマ別演習 全称命題

全称命題 第2講【一般項と漸化式】【1986年度 東京工業大学】

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全称命題シリーズ第2講です。

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全称命題 第1講【恒等式として等号が成立するための条件】【1990年度 東京工業大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   「全称命題」というテーマ性のある話題を扱います。 これは分野は関係なく、「考え方」に難しさがあり、独特な議論の進め方をします。 対応を知らないと、白紙になってしまったり、見当はずれなことを場当たり的に書いて終了してしまいかねません。 全称命題だと見抜く「眼」と、見抜いた後の「対応」の両輪をきちんと揃えておき、ライバルに差をつけましょう。 シリーズ一覧はこちら 今回は恒等式となるための条件を考えるという問題です。 見た目が仰々しく ...

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全称命題 第2講【一般項と漸化式】【1986年度 東京工業大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   全称命題シリーズ第2講です。 シリーズ一覧はこちら   全称命題についての対応は第1講で学びました。 全称命題特有の処理を施すわけですが、その後については「分野」ごとの常識力が問われる問題に帰着します。 (以下ネタバレ注意)   + クリック(タップ)して続きを読む 全ての自然数 \(n\) について \(a_{n}\) を割り切る素数を探すので、 \(a_{1}\) も割り切る必要があるよね? という屁理屈 ...

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全称命題 第3講【整数問題】【一般項か漸化式どちらを扱うか】【1997年度 一橋大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   全称命題シリーズ第3講です。 シリーズ一覧はこちら   今回は整数分野の全称命題を扱います。 必要条件を言う部分で整数問題としての処理が求められるでしょう。 その後の十分性の確認では第2講の内容が存分に現れるので、前回の内容の確認もできると思います。 (以下ネタバレ注意)     + クリック(タップ)して続きを読む \(a_{n}=5^{n}+an+b\) とおきます。 全称命題と捉えて \(a_ ...

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全称命題 第4講【整数問題の基本手法の運用に帰着】【1991年度 金沢大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   全称命題シリーズ第4講です。 シリーズ一覧はこちら 今回は第3講に引き続き整数問題に関する全称命題です。 全称命題に関する基本的な対応については第1講で扱っていますが、今一度ここでも確認します。 step1全称命題だと見抜く 「任意の」「どんな」「全ての」\(\cdots\) という類の言葉は発見のシグナルです。 step2「じゃあ \(\cdots\)」と屁理屈(考えやすい簡単なケース)を言って答えの候補(必要条件)を出す。 ...

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全称命題 第5講【楕円についての論証】【1990年度 東京大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   全称命題シリーズ第5講です。 シリーズ一覧はこちら     そもそも、今は「全称命題」というシリーズとしての問題としてこの問題と向き合っているから頭が全称命題モードになっていて、屁理屈を言おうと思えるかもしれません。 しかし実際試験場では何が出題されるか分かりません。 色々な問題に紛れてポンとおいてあったときに、冷静に全称命題だと見抜いて必要条件を出せるのかといった難しさがあると思います。 分野的にも整数や数 ...

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全称命題についての対応は第1講で学びました。

全称命題特有の処理を施すわけですが、その後については「分野」ごとの常識力が問われる問題に帰着します。

(以下ネタバレ注意)

 

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全ての自然数 \(n\) について \(a_{n}\) を割り切る素数を探すので、

\(a_{1}\) も割り切る必要があるよね?

という屁理屈を言います。

計算すれば \(a_{1}=21\) となりますから、この時点で

もしこの問題に答えがあるならば \(7\) または \(3\) だということが言えます。

この後もずっと 7 と 3 で割り切れるのかどうかに注目しながらもう一つ

\(a_{2}\) も割り切る必要があるよね?

と屁理屈を言って計算してみると、\(a_{2}=329=7\times47\) となりますから、結局

もしこの問題に答えがあるならば \(7\) である

ということが分かるわけです。

もちろん、この後の \(a_{3}\) ,  \(a_{4}\) ,  \(\cdots\)  も \(7\) で割り切れるという保証はありませんから、

全ての自然数 \(n\) に対して  \(a_{n}\)  が \(7\) で割り切れる

ということを証明します。

これについては様々な方針が考えられます。

有力なのは数学的帰納法でしょう。

さて、言ってみたら今回は \(a_{n}=19^{n}+(-1)^{n-1}2^{4n-3}\) という言わば「一般項」が与えられている状態です。

漸化式や一般項の扱い方

手元の条件や式について

  • 一般項の形で扱う
  • 漸化式の形で扱う

という2路線が考えられます。

今手にしているのは「一般項」の方ですから、そのまま数学的帰納法を用いても特に問題ありません。

今回は勉強のために敢えて、漸化式をGetしにいくという方針についても考えてみます。

漸化式を作るという手間こそありますが、帰納法の中身自体は漸化式路線の方が楽に(ほぼ自明に)なります。

また、純粋な整数問題として処理することも可能です。

ぜひ色々考えてみてほしいと思います。

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