ピタゴラス数

ピタゴラス数 第2講【原始ピタゴラス数の一般解】【1999年度 京都大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

 

ピタゴラス数についてのテーマ別演習第2講です。

シリーズ一覧はこちら

ピタゴラス数 第1講【平方剰余】【2004年度 旭川医科大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   \(a^{2}+b^{2}=c^{2}\) を満たす自然数 \((a \ , \ b \ , \ c \ )\) の組をピタゴラス数と言い、特に \(a\) , \(b\) , \(c\)  のどの2つも互いに素であるとき、原始ピタゴラス数と言います。 原始ピタゴラス数に関する入試問題は頻出であり、今回は何題かピックアップしてシリーズものとして取り上げたいと思います。 シリーズ一覧はこちら   今回は第1講ということで ...

続きを読む

ピタゴラス数 第2講【原始ピタゴラス数の一般解】【1999年度 京都大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   ピタゴラス数についてのテーマ別演習第2講です。 シリーズ一覧はこちら 第2講では原始ピタゴラス数の一般解について考えます。 この問題だけ見ると、 「なんだこのオチ」 と思うかもしれませんが、実はこのオチからもう少し話を進めると   原始ピタゴラス数の一般解 \(m\) ,  \(n\) を \(m \gt n\) を満たす互いに素で、偶奇の異なる自然数とする。 この \(m\) ,  \(n\)  を用いて、\(a^{ ...

続きを読む

ピタゴラス数 第3講【拡張版の等式】【2000年度 横浜国立大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   ピタゴラス数についてのテーマ別演習第3講です。 シリーズ一覧はこちら 今回はピタゴラス数の拡張として \(a^{2}+b^{2}+c^{2}=d^{2}\) を満たす自然数 \(a\) , \(b\) , \(c\) , \(d\) について扱います。 (以下ネタバレ注意)     + クリック(タップ)して続きを読む 聞かれていることについては第1講で扱った平方剰余に近いものがあります。 そこで、(1) で ...

続きを読む

ピタゴラス数 第4講【イェスマノヴィッツ予想】【有名事実】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   シリーズ一覧はこちら   非常にシンプルな問題ですが、難問です。 本問は歴史的には1955年にシェルピンスキーという数学者によって解決されました。 その後、この問題は一般のピタゴラス数についても成り立つか?という疑問に変わっていきます。 すなわち \(a\) , \(b\) , \(c\) を \(a^{2}+b^{2}=c^{2}\) を満たす正の整数とする。 \(a^{x}+b^{y}=c^{z}\) を満たす正の ...

続きを読む

第2講では原始ピタゴラス数の一般解について考えます。

この問題だけ見ると、

「なんだこのオチ」

と思うかもしれませんが、実はこのオチからもう少し話を進めると

 

原始ピタゴラス数の一般解

\(m\) ,  \(n\) を \(m \gt n\) を満たす互いに素で、偶奇の異なる自然数とする。

この \(m\) ,  \(n\)  を用いて、\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\) を満たす原始ピタゴラス数が

\((a \ , \ b \ , \ c)=(m^{2}-n^{2} \ , \ 2mn \ , \ m^{2}+n^{2})\)

という形で表せる。

という原始ピタゴラス数の一般解が得られます。

あえてそこまで聞かずに、「言いたいことは \(\cdots\) 分かるよね?」と途中で止めるあたりが京大のにくいところです。
(誉め言葉です。)

そのあたりは【総括】で触れてあります。

まずは本問を解いてみることにしましょう。

(以下ネタバレ注意)

 

 

+ クリック(タップ)して続きを読む

(1) は第1講でも扱った内容です。

(2) はそんなに簡単ではないと思います。

与えられた等式を \(b^{2}=(c+a) (c-a)\) と見ます。
(最初のこの一手が言うほど簡単ではないでしょう)

(1) の結果から \(b=2B\) という形で書けますので

\(B^{2}=\displaystyle \frac{c+a}{2} \cdot \displaystyle \frac{c-a}{2}\)

となります。

見た目分数の形をしていますが、\(c\) , \(a\) はともに奇数なので、\(\displaystyle \frac{c+a}{2}\) ,  \(\displaystyle \frac{c-a}{2}\)  はともに整数です。

つまり、(整数)×(整数)=(平方数) という形をしています。

ここで、問題で言われていることの主張に目を向けると

\(\displaystyle \frac{c+a}{2}=d^{2}\) と表せる

つまり、\(\displaystyle \frac{c+a}{2}\) というものが平方数であることを示せばよいことになります。

先ほどの (整数)×(整数)=(平方数) という形が、実は

\(2 \times 8=16\) というタイプではなく、\(4 \times 9=36\)

という (平方数)×(平方数)=(平方数) タイプだということを目指すことになります。

ということは、次の一手は

\(\displaystyle \frac{c+a}{2}\) と \(\displaystyle \frac{c-a}{2}\) が互いに素である

ということを目指せばよくなります。

お互いに素因数を分かち合うことなく、それぞれが平方数になっていることを目指すのです。

互いに素である(2以上の共通の約数(公約数)をもたない)という否定的な事柄の証明については背理法を選択します。

あとは手なりに進んでいくでしょう。

解答はコチラ

-ピタゴラス数
-

© 2022 MathClinic