解答速報

【解答速報】2021年度 東京大学理系第4問【二項係数の整数問題】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

 

急ぎで作成したので、誤りや打ち間違いなどがあるかもしれませんが、ご了承ください。

(誤りが発覚し次第、訂正版をアップしていきます。)

また、時期が来たら、戦略なども含めた完全版を出したいと思います。

【追記】詳細版に差し替えました。

なお、2021年2月26日(金)にアップした解答には打ち間違いが多々ありました。
ご迷惑をおかけしました。
さらに誤りなどがございましたら、お問い合わせフォームより報告していただければ幸いです。

2021年度東大理系の問題はこちら

【解答速報】2021年度 東京大学理系第1問【放物線の通過領域】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   急ぎで作成したので、誤りや打ち間違いなどがあるかもしれませんが、ご了承ください。 (誤りが発覚し次第、訂正版をアップしていきます。) また、時期が来たら、戦略なども含めた完全版を出したいと思います。 【追記】詳細版に差し替えました。 2021年度東大理系の問題はこちら 本問は「通過領域」がテーマになっています。 速報では逆像法(しらみつぶしの考え方)で倒しました。 放物線が通ることができる点の集合が求める領域です。 \((2 \ ...

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【解答速報】2021年度 東京大学理系第2問【終点の存在範囲】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   急ぎで作成したので、勘違いや打ち間違い、計算ミスなどがあるかもしれませんが、ご了承ください。 (誤りが発覚し次第、訂正版をアップしていきます。) また、時期が来たら、戦略なども含めた完全版を出したいと思います。 【追記】詳細版に差し替えました。 2021年度東大理系の問題はこちら   (1) の結果が少し疑心暗鬼になるような形でした。 計算ミスを何度も疑いましたが、試験場だと猶更平常心を保つのは難しいかもしれません。 ...

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【解答速報】2021年度 東京大学理系第3問【接線と共有点 , 定積分の計算】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   急ぎで作成したので、誤りや打ち間違いなどがあるかもしれませんが、ご了承ください。 (誤りが発覚し次第、訂正版をアップしていきます。) また、時期が来たら、戦略なども含めた完全版を出したいと思います。 【追記】詳細版に差し替えました。 2021年度東大理系の問題はこちら 曲線から接線を引き、接点と異なる共有点を求める定番の問題です。 連立して出てくる 3 次方程式を解くだけですから、(1) は落とせないでしょう。 その際闇雲に因数 ...

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【解答速報】2021年度 東京大学理系第4問【二項係数の整数問題】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   急ぎで作成したので、誤りや打ち間違いなどがあるかもしれませんが、ご了承ください。 (誤りが発覚し次第、訂正版をアップしていきます。) また、時期が来たら、戦略なども含めた完全版を出したいと思います。 【追記】詳細版に差し替えました。 なお、2021年2月26日(金)にアップした解答には打ち間違いが多々ありました。 ご迷惑をおかけしました。 さらに誤りなどがございましたら、お問い合わせフォームより報告していただければ幸いです。 2 ...

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【解答速報】2021年度 東京大学理系第5問【関数の増減に関する考察】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 関数の増減に関する考察をさせる問題です。 今回は \(\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x = \theta+\sin{\theta} \\ y=\cos{\theta} \end{array} \right. \end{eqnarray}\) というパラメータ表示された曲線と点 ( \(-\alpha\) ,  \(-3\) ) との距離の2乗として \(f(\theta)\) が与えられて ...

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【解答速報】2021年度 東京大学理系第6問【因数分解と恒等式】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   因数分解と恒等式に関する本格的な問題です。 本問は ( 2 次式 ) × ( 2 次式 )  という因数分解ができるように \(a\) を仕組んでください。 という問題でしたが、 「( 1 次式 ) × ( 1 次式 )  という因数分解ができるように」という問題であれば、東大受験生なら一度は経験したことがあると思います。 そういった典型問題をベースに発展させた問題だと思いますが、本問の難しさは発想面というよりも、 何が問われて ...

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二項係数に関する整数問題であり、2018 年度 , 2015 年度 , 2009 年度など、東大では定期的に出てくる話題です。

二項係数の問題は、扱い方いかんによっては見えるものも見えなくなる点が難しいところです。

例えば

\({}_n \mathrm{ C }_k=\displaystyle \frac{n\cdot(n-1)\cdot\cdot \cdots \cdot(n-k+1)}{k!}\)

\({}_n \mathrm{ C }_k=\displaystyle \frac{n!}{k! (n-k)!}\)

など、どの形で見るのかによって迷いも生じます。

今回は\({}_{4a+1} \mathrm{ C }_{4b+1}\) を書き下す必要がありますが、整理して書き下さないと頭がクッシャクシャになります。

 

本問は「試験問題としてでなく、純粋に整数問題として」個人的に好みです。

誘導部分も誘導らしからぬ歯ごたえがあり、最後のオチを引き立てます。

ただ、その刺激ゆえに、最後のオチまで辿り着けた受験生が何人いたかは疑問です。

難易度はやや難だと思います。

少し前に

参考仮想難関大(オリジナル予想問題)【整数~二項係数の問題~】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   仮想難関大シリーズということで、東大、京大をはじめとする旧帝大、東工大、国公立大学医学部医学科などの難関国公立大を想定した ...

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という自作問題をあげたのですが、素因数2に注目し、4で割り切れるか否かに注目した二項係数の問題と言う点でかすっていたように思います。

とは言え、本問は果汁100%という感じがし、完成度の高さに敬意を表します。

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