ベクトル

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） アステロイドに光を当てたときにできる影について考える問題です。 立式さえできれば、曲線の長さという基本的な計算になりますので、この影が表す図形をどのように立式するかがポイントになってきます。 （以下ネタバレ注意） + クリック（タップ）して続きを読む イメージ図 ひとまずは問題の図形 $D$ ,  $D'$ のイメージを掴みたいと思います。 図形 $D$ の境界線が表す曲線を $C$ ,  図形 $D'$ の境界線が表す曲 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 見た目はベクトルの問題ですが、様々な解法が考えられます。 そのままベクトルで捌くのもいいですし、少し凝った解法で捌いてもよいでしょう。 正攻法に攻めても問題なく捌けるという点は試験場ではありがたいですね。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む 路線１：ベクトル 見た目通りベクトルの問題として捌いていくことを考えてみます。 まず、３点 $\mathrm{A}$ ,  $\mathrm{B}$ ,  \ ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 正八面体の辺ベクトルについての論証問題であり、一見するとどこから手を付けていいのかが分かりにくい問題でしょう。 題意の主張が当たり前じゃんと思える人もいるでしょうが、どのように記述でまとめるかで悩むかもしれません。 解答自体は短く終わりますが、手も足も出ない人がいてもおかしくはないと思います。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む 内積の符号とベクトルのなす角 一般に２つのベクトル $\vec{a}$ ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 単位円上の４点 $\mathrm{A}$ ,  $\mathrm{B}$ ,  $\mathrm{C}$ ,  $\mathrm{P}$ について ${\mathrm{PA}}^{2}+{\mathrm{PB}}^{2}+{\mathrm{PC}}^{2}$ ${\mathrm{PA}}+{\mathrm{PB}}+{\mathrm{PC}}$ という２乗和、１乗和について扱う問題です。 ２乗和、１乗和によって取りたく ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 決して派手な問題ではありませんが、ベクトルに関する基本的な扱いを要求し、最後は面積比の最小問題がオチという実戦的な演習問題です。 角度を共有する三角形の面積比については手際よく立式したいところです。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む (1) について $\overrightarrow{\mathrm{OG}}$ についてですが、$k$ 倍する前の \(\overrightarrow{\mathr ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 直角三角形の外側に作る二等辺三角形によって正三角形ができるという話題です。 どんな直角三角形に対しても、外側に頂角 $120^{\circ}$ の二等辺三角形を配置することで正三角形が作れるという事実は面白いですね。 本問は誘導がついていましたが、誘導があると面白みが薄れるため、今回は誘導設問はカットしました。 ノーヒントで取り組んでみてください。 ノーヒントでも無理なく捌ききれるレベルだと思います。 （以下ネタバレ注意）   ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 正十二面体に関する位置ベクトルについての問題です。 必然的に正五角形に関する扱いが求められます。 空間ベクトルの問題においては、正四面体などの簡単な立体は扱ったこともあるでしょうが、正十二面体となるとキッチリと地力の差が出るでしょう。 （以下ネタバレ注意） + クリック（タップ）して続きを読む (1) について 正五角形に含まれる黄金三角形の黄金分割によって、正五角形の対角線の長さを求めていきます。 これらの用語が初耳だという方は テーマ別演 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 定点 $\mathrm{A}$ ,  $\mathrm{B}$ ,  $\mathrm{C}$ が与えられ、 $\angle{\mathrm{APC}}=\angle{\mathrm{BPC}}$ となる点 $\mathrm{P}$ の軌跡を考えます。 題意はシンプルですし、恐らく直感的に結論も見える人もいると思います。 ただ、 その場所以外に点 $\mathrm{P}$ は存在し得ない ということを論じきろうと思うと ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 見た目ベクトルの問題です。 本問を通じて様々なものの見方を学ぶことができると思います。 （以下ネタバレ注意） + クリック（タップ）して続きを読む 本問においては ベクトル・座標・幾何 という分野の選択が考えられます。 ベクトルの路線 平面ベクトルでは １つの始点、２つの基底 というセオリーに従い、 $\vec{p}=x\vec{a}+y\vec{b}$ と$\vec{a}$ ,  $\vec{b}$ で表していきます。 そのため ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 類題１はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 類題２はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 四面体に関する論証問題で、ひとまず例題でウォーミングアップをし、そこから徐々にステップアップをしていきます。 例題、類題１はセオリー通り手なりに進めていっても、特に大きな問題はないと思います。 類題２についてはセオリー通り進めていくと、冗談じゃない処理となりますので、工夫が必要となります。 ひとまずは自力で解き進 ...