最大・最小

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 一般に、\(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}=a\) という従属な関係式をもつ正の \(n\) 変数 \(x_{1}\) ,  \(x_{2}\) ,  \(\cdots\) ,  \(x_{n}\) に対して \(x_{1}\log{x_{1}}+x_{2}\log{x_{2}}+\cdots+x_{n}\log{x_{n}}\) の最小値を考える問題です。 例題では、２変数、３変数という具体的なバージョンで考えてみてくださ ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 問題自体は標準レベルの問題で、方針面では躓くことなく進めてほしい問題です。 今回は、分数関数の極値を計算する際の 計算上の工夫について考える というのが趣旨です。 とりあえずは自力で解き進めていってほしいと思います。 （以下ネタバレ注意） + クリック（タップ）して続きを読む (1) について 内接円の半径を導出する際、三角形の面積を絡めて導出するという方法が有名です。 \(\triangle{ABC}=\displaystyle \frac ...

平面の問題【問題１】はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 空間の平面上を動く問題【問題２】はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 空間の直線上を動く問題【問題３】はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） ２つの定点 \(A\) ,  \(B\)  と、動点 \(P\) があり、折れ線の長さ \(AP+BP\) の最小値を考える問題で、テーマとしては割と手垢の付いた話題です。 ただ、難しくする余地が多々あり、今回は段階を踏んで徐々にレベルアップして ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 今回、本問を通じて 線形計画法の問題に対するアプローチについて考えてみます。 今回、文字 \(a\) が入っているため、場合分けが発生することは予見できると思います。 このような場合分けが必要な線形計画法の問題に対して、 王道的に倒す方法 スマートに処理する方法 を紹介します。 ただ、王道的な考え方については 参考 で紹介していますので、考え方そのものについてはそちらの記事に任せます。 （解答では【戦略１】【解１】で王道的な路線でやったあと、 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 逆像法シリーズの第２講は 座標変換への応用 線形計画法 と逆像法についての関連を見ていきます。 このシリーズの一覧はこちら   （以下ネタバレ注意）     + クリック（タップ）して続きを読む (1) について \((x \ , \ y)\) という座標から \((x+y \ , \ xy)\) という座標への変換を考える問題です。 1954年に東大が出題したのが元祖で、通称「エンマさまの唇問題」と呼ばれている ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 今回は難関大を目指すにあたっては避けて通れない話題である「逆像法」について扱います。 このシリーズを通じて 逆像法のもつイメージ 逆像法の代表的な使いどころ をマスターし、状況に応じて自分で使いこなせるようにすることでライバルに差をつけましょう。 このシリーズの一覧はこちら   代表的な使いどころ 入試によく出題される話題の中で、逆像法が有効にはたらく場面というのは以下の話題です。 逆像法の代表的な使いどころ 最大最小問題への応用 ...

  今回は「ワイエルシュトラスの置換」と呼ばれる有名な置換を用いた問題を扱います。   ワイエルシュトラスの置換とは ワイエルシュトラスの置換とは ワイエルシュトラスの置換 \(\tan{\displaystyle \frac{\theta}{2}}=t\) とおいたとき、 \(\sin{\theta}=\displaystyle \frac{2t}{1+t^{2}}\) \(\cos{\theta}=\displaystyle \frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}\) \( ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） シンプルな問題ですが、多くの解法が考えられ、それぞれ色々な教訓を含んでいるので、一粒で何度もおいしい問題です。 どういう視点からこの問題を捉えるかによって、自然に見える見え方や考え方が変わってきます。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む 見た目通りの問題と捉えると この問題を見た目通り 「従属な３変数関数の最大問題」 と捉えれば、例えばまずは \(\gamma\) を消去して、\(\alpha\) ,  ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） ざっと見た感じだと (2) のオチは２変数関数の最大問題です。 (1) の設問的にどうやら従属２変数関数であるなということ、つまり (1) は文字消去するためのヒントという位置づけだなということが読み取れます。 したがって、(1) を確保できないとなると、それが (2) まで響いてきてしまい、大怪我に繋がってしまいます。 その (1) ですが、分母の 6 に含まれる素因数 2 や、左辺の + の形が邪魔で、左辺と右辺を見比べるということは難し ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 放物線の２接線の交点が絡んだ定番の構図で、今年の旧帝大では名古屋大学もこの構図で出題していました。 大抵面積が絡んだ手垢のついたオチに帰着することが多い中、本問は線分比を計算させてます。 手垢が付きすぎているオチを嫌った（？） 解き始めて最初に思ったことは 「\(a+2\) のまま計算する必要性ってあるのか？」 ということです。 シンプルに \((b \ , \ \displaystyle \frac{b^{2}}{2})\) として計算して ...