数学的帰納法

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   チェビシェフの多項式と呼ばれる有名テーマを扱った問題で、大学入試においても様々な角度から切り込まれています。 初見だと厳しい内容もありますので、代表的な問題を今回シリーズものとして扱うことにしました。 今回は第２弾です。 このシリーズのまとめはこちら 今回はチェビシェフの多項式 \(T_{n}(x)\) が満たす漸化式について考えます。 チェビシェフの多項式 \(T_{n}(x)\) は チェビシェフの多項式が満たす漸化式 $$ ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   \(3^3+4^3+5^3=6^3\) を満たしているので、(1) は (2) の具体例です。 つまり  \(n=3\) のときは   \(a^n+b^n+c^n=d^n\) だということが分かります。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む 当然じゃあ  \(n=1\) のときは？  \(n=2\) のときは？  \(n=4\) のときは？\(\cdots\) という興味が湧きますから、調べて ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   「数学的帰納法と背理法」シリーズの４弾目です。 このシリーズの一覧はこちら   本問は前回までのシナリオをベースとしながらも、さらに見抜くべきことや示すべきことが多々あります。 「数学的帰納法と背理法３」の記事で、「互いに素であることの翻訳の仕方は色々ある」ということを勉強したと思います。 「２数が互いに素である」ということは「その２数の最大公約数が１」と翻訳することが基本です。 最大公約数を扱うにあたり、大きな武器が ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   「数学的帰納法と背理法」シリーズの３弾目です。 このシリーズの一覧はこちら   基本的なシナリオは前回までとおおよそは同じなのですが ココがポイント 互いに素（最大公約数が１）ということをどう翻訳するか が山場となります。 互いに素ということの翻訳の仕方は様々あるということを、本問を通じて学んでほしいと思います。   解答はコチラ

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 「数学的帰納法と背理法」シリーズの２弾目です。 このシリーズの一覧はこちら   今回のオチは「共通素因数がこれしかない」ということの証明です。 前回の「互いに素(共通素因数をもたない)」ということと本質的には同じですので、前回の問題ができなかった人はリベンジしてみてください。 解答はコチラ

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   このシリーズの一覧はこちら   数学における２大証明法「数学的帰納法」と「背理法」のコラボレーション問題です。 指導者側からすると「ハイハイこれね」と言いたくなるぐらい手垢のついた問題ですが、初めて解いた時の気持ちよさは今でも覚えています。 漸化式に関する証明問題では帰納法を用いるのが常套手段です。 本問では「互いに素」であることを証明するために背理法を用いることになります。 矛盾の仕方が個人的に気持ちいいですね。 ( ...