軌跡

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） \(xz\) 平面上の点 \(\mathrm{A}\) と、\(xy\) 平面上の点 \(\mathrm{P}\) を結ぶ直線を原点を通るように垂直に切った平面 \(\alpha\) と、その切り口である点 \(\mathrm{Q}\) を考えます。 お絵描きが中々難しいですが、完ぺきに律儀な図を書かなくても、必要な情報さえ抽出できればよいでしょう。 (1) は式的に攻めるか、図から攻めるかという２路線が考えられますが、ある程度ラフな絵でも情 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） アステロイドに光を当てたときにできる影について考える問題です。 立式さえできれば、曲線の長さという基本的な計算になりますので、この影が表す図形をどのように立式するかがポイントになってきます。 （以下ネタバレ注意） + クリック（タップ）して続きを読む イメージ図 ひとまずは問題の図形 \(D\) ,  \(D'\) のイメージを掴みたいと思います。 図形 \(D\) の境界線が表す曲線を \(C\) ,  図形 \(D'\) の境界線が表す曲 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 本問の料理名は 軌跡のベクトル風味仕立て～範囲のスパイスとともに～ でございます。 定番の味付けの中に、ピリッとアクセントの効いた味わいをお楽しみください。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む (1) について まずは前菜でございます。 点 \(\mathrm{A}\) \((a \ , \ a^{2})\) ,  \(\mathrm{B}\) \((b \ , \ b^{2})\) という設定により、 ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 複素数の実数条件と、それを満たすような点 \(z\) の集合について考える問題です。 試験場で遭遇したと想定したら、確保したい標準的な難易度でしょう。 複素数平面の問題は様々な解法が考えられ、方針によって労力が変わってくることも珍しくありません。 方針というのは、ある意味「翻訳の仕方」と言ってもよいと思いますが、今回は複素数が実数であるということをどのように翻訳するかという部分を確認していきます。 （以下ネタバレ注意）   + クリ ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） ２つの動点が関わる軌跡や通過領域について捉える問題です。 難易度についてははっきりと差が付くと思います。 何が難しいの？と思う人もいるでしょうし、ドツボに嵌まって身動きが取れなくなる人もいると思います。 本問を選定した理由を述べます。 通過領域というのは本来、目で追っていくことが難しいから式に教えてもらおうという態度でいくことが多いです。 そのあたりのよくある通過領域については で、取り扱っています。 最初にいってしまうと、この問題は式だけで ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） ２直線の交点の軌跡というテーマ性のある話題です。 単元学習で軌跡を学習したばかりの状態でこのテーマに取り組むと、「あれ？」となる人が多いでしょう。 方針としては複数考えられますが、どのような方針が自然かということについて比較検討まで含めて考えていきます。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む 思いつきやすい方針 軌跡の基本は \((X \ , \ Y)\) とおき、\(X\) ,  \(Y\) の関係式を ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   空間座標における点の軌跡の問題であり、リーマン球を題材に作成したと思われます。 もちろん、そんなパワーワードを知っているか知っていないかで差が付くようなことはないので、ご安心ください。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む まずは状況把握 ざっくりと絵を描いてみると といった感じでしょうか。 とりあえず絵的にイメージがつかめるだけでも安心感が出ます。 イメージとしては N を北極 ,  S を ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 2018年度東京大学理類の第５問で、複素数平面に関する対称移動という話題からスタートし、そこから肉付けがしてあります。 今でも記憶にあるのは、この年に参加した研究会の分析会議で「本問がこの年における最難問である」という意見が多数を占めていたということです。 確かに決して簡単ではないと思いますが、 通常東大受験生が学習しているであろう範囲内の学習で、十分対応可能である内容であるということ 突拍子もない発想を要求されるわけでもないこと 上手い解法 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 流し読みして、問題をざっと見たとき、線分の通過領域というワードを見て少し身構えました。 直線の通過領域にしても差が付くテーマなのですが、線分の通過領域となると、範囲が制限されているので、さらに厄介になることが多いからです。 ただ、今回の問題については解き進めていくうちに、「目で追い切れる」ことが分かります。 (1) はオチの分かっている因数分解からの、解と係数の関係の利用 (2) は軌跡の基本 であり、確保したいところです。 (3) の通過領 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 京大にしては珍しく誘導があります。 (1) は幾何的に攻めたいですね。 ２定点を見込む角度が一定ということで、円周角の定理をインスピレーションできるでしょうから、答えはすぐ出せると思いますが、条件 (*) についてどこまで自明のものとして扱ってよいのかという点で書きづらさを感じた人も多いのではないかなと思いました。 (2) は軌跡ですから、基本的には座標的に処理するのが普通でしょうか。基本に忠実に \((X \ , \ Y)\)  として \ ...