実践演習

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 円周率 \(\pi\) は無理数です。 と習ったのは中学生ぐらいでしょうか。 教わったときは「へぇ～、そうなんだ」と流してしまう人がほとんどでしょう。 自分もその一人でしたが、心のどこかで「なんでだろう」という引っかかりをもってはいました。 本問は一応「高校で学習する内容の範囲」で 円周率 \(\pi\) が無理数であるという結論まで辿り着けるように設計されています。 もちろん、厳密性を言い出したらキリがない部分もありますが、なぜ \(\pi ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   ネイピア数 \(e\) が無理数であることを証明させるという、先人の重みを感じるような問題です。 もちろん、誘導なしで証明しろという問題が入試として出題されたとしたら、大半の人はひとたまりもないでしょう。 今回持ってきた問題は、受験の項目として大事な考え方などを含むような路線の誘導がついているということで勉強になると思います。 それに加えて、ネイピア数 \(e\) の無理数性を証明するという、学問的な事実としての面白さもあると思 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） ３次元空間における歪んだ八面体を、ある平面で切った切り口について考察する問題です。 東大はこういった空間把握力を試すような問題を好んで出題する傾向にあります。 本問も、空間把握力を真正面から問いかけています。 苦手意識をもつ人も多い話題だとは思いますが、少しでも見やすくする工夫を考えてみるきっかけとなる機会となればと思います。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む 全体像は 問題のシチュエーションを軽く図示 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   空間における三角形を平面に正射影した三角形について考える問題です。 段階的に誘導がついているため、完答するのにそこまで無茶な問題でもないはずです。 実際に、この年の名古屋大受験生の声を聞きましたが、この問題を確保している受験生の合格率が高かったという記憶があります。 （この2019年度の名古屋大は割とハードなセットでした。） 差が付くレベルの問題でしょう。 力試し的に取り組んでみてください。 （以下ネタバレ注意）   ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 座標平面上において折れ線状に動く点の動きを考察する問題です。 「点 \(P\) が \(x=b\) を横切る」ということを式的に論じるにはどうすればよいか について翻訳力が問われるでしょう。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む イメージの把握 のように \(y\) の値が整数になるごとに傾きが \(s\) 倍になっていきます。 イメージとしては媒質の異なる層を光が屈折していくような感じでしょうか。 確かに ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   難関大頻出テーマである「確率漸化式」をテーマとした問題です。 難関大において、確率漸化式の問題は基本的なものから、凝ったものまで幅広く出題されていますが、本問は 難関大に向けた演習として負荷が適度である ということを意識して選びました。   （以下ネタバレ注意）     + クリック（タップ）して続きを読む 漸化式の立式 (1) という設問が、 \(n-1\) 回目と、\(n\) 回目の状態推移を考 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 単位円上にある複素数 \(\alpha\) ,  \(\beta\) ,  \(\gamma\) についての性質について考える問題です。 \(|\alpha|=|\beta|=|\gamma|=1\) という条件をどう効かすかという部分について考えてみてください。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む 基本路線 \(z=\displaystyle \frac{(\alpha+\beta)(\beta+\ga ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 本問は教科書的な項目で言えば 陰関数の微分に関する力を見る問題 ということができるでしょう。 これから述べる背景的なものや、経験的な部分でアドバンテージをもてることはありますので是非今後の糧にしておきたい問題です。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む 接線の式を出すために まずは接線の式を出すために \(\displaystyle \frac{dy}{dx}\) を出す必要があります。 今回は \(y=f ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 有名な２次曲線の性質の問題です。 背景には「楕円と双曲線の光学的性質」があります。   楕円の光学的性質   \(F\) から出た光は \(F'\) に向かって反射します。 つまり、接線 \(l_{1}\) は \(\angle FPF'\) の外角の二等分線です。   双曲線の光学的性質     \(F\) から出た光は \(\overrightarrow{ F'P }\) 方向に反射します ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 円錐を切断した立体の体積について考える問題です。 立式する力から、それを計算しきる計算力まで、ある程度の総合力が必要です。 所々に散りばめれられたヒントがありますから、それを活かしきりましょう。 ただし、難関大受験生は、ヒントがなかったとしても解ききりたい内容ではあると思うので、そのつもりで学習していただければと思います。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む (1) について \(\displaystyl ...