今年の北大理系数学を解いての感想です。
難易度について
北大は昔から標準的な問題をベースとした適度な良問を出題している大学です。
今年についてもその特徴は顕在で、すべての問題が決して無理のない標準的な問題のセットだったと思います。
今年のセットは計算量も多くなく、昨年度よりやや易化したと言えます。
2021年度 北海道大学理系 各解説記事
第１問
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平面ベクトルの問題としての出題ですが、適宜幾何的な見方をすることで、処理を手際よく進めることができます。
見た目ベクトルの問題だからと言って、全てベクトル的に処理する必要性はありません。
正射影ベクトルという話題が含まれますが、そのあたりのシナリオや扱いについては、しっかり意味も理解している人と、とりあえず結果だけ覚えた人では、記述面で差が付くでしょう。
そのあたりの採点基準についてはどこまで目くじらを立てられるか分かりませんが、できることなら導出過程まで含めてしっかりと記述したいところです。
難易度は標準です。
第２問
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放物線の２接線とその交点について考える定番の構図です。
\(a+2\) のまま計算を進めていくのは、個人的にイヤだったので、\(b=a+2\) と置きなおして計算を進めていきました。
交点の座標については、\(x\) 座標は勉強していれば暗算レベルで出せるでしょう。
この手の構図では、面積に絡んだ出題になることが多いですが、そんな手垢のついた話題を嫌ったのか、本問では線分比の話題にしています。
線分比の最小を考えるにあたっては、微分路線と、相加平均・相乗平均の関係路線が主だった路線です。
相加・相乗平均の関係を利用するための式変形は、初見だとテクったように見えますが、北大の受験生であればこなしたいですね。
最悪微分でぶん殴れば倒れるので、\(\displaystyle \frac{|AB|}{|BC|}\) さえきちんと計算できれば、勢いに乗って完答したいです。
置き換えの工夫を抜きにしても、爆発的に計算量が増えるわけでもないので、なんとか完答したい一問です。
難易度は標準でしょう。
第３問
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一見身構える条件式ですが、目に優しく \(X=3^{4x}\) , \(Y=3^{y^{2}}\) と置き換えることにより、見通しよく条件式を捌くことができるでしょう。
特に対数を扱うことになるため、底の条件や真数条件など、文字の変域に神経を使いながら話を進めていく必要があります。
路線自体は第２問同様、微分でぶん殴るか相加・相乗平均の関係の路線です。
解いていて「あれ、さっきと同じか？」という既視感を感じました。
先ほどと同じような景色ではありますが、(1)で心乱された受験生も一定数いると思われ、解けたにせよ、紆余曲折を経て時間を使ってしまったという受験生も少なくないのではないかと思います。
そういった意味で難易度は標準ではありますが、試験場補正が入ると思います。
第４問
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連立漸化式に関わる整数問題で、漸化式を解くというよりも、それを利用して整数的な性質を見出していく問題です。
細々とした別解はあるでしょうが、大枠として漸化式と相性の良い数学的帰納法で証明していくという路線は睨み続けたいところです。
総合的に「実験」という作業が必要で、この実験によって「あれ？こういうことが言える？」というような予想が立ち、それを示すという流れとなります。
難易度は標準ですが、にらめっこし続けて手を動かさずに閃きが舞い降りるのを待ち続けていた人には厳しかったと思います。
第５問
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パラメータ表示された曲線に関する問題で、パラメータ曲線に関する諸々の話題（面積や回転体の体積など）の演習量が十分であれば、本問は非常に標準的な問題です。
計算量も多くなく、やることも一本道であるため、勉強していれば「はい、いただき！」、勉強が間に合わなかった人は「Good bye」という問題でしょう。
量的にも質的にも手ごろな問題なので、将来的にどこかの問題集などに採用されるでしょう。というレベルの問題です。
難易度はやや易～標準だと思います。
総括
きちんと地に足つけて勉強してきた受験生からすれば、手が付けやすく取り組みやすい問題が多かったと感じたはずです。
今年の問題をセットで解いてみて、そう感じなかったという受験生は、演習の質、量いずれかが足りていなかったと思われます。
ただ、今年の問題についてはどれも標準的な問題であったと思いますが、その中でも多少の難易幅はあったと思います。
個人的に試験場であれば確保したい問題としては
やることが明確で一本道である第２問、第５問
であり、手際の良さや処理量に拘らなければ、第１問も確保するのに無理はないでしょう。
第３問、第４問は手を動かしながら様子を見るという要素も入ってくるため、少し出来具合が分かれると思います。
トータル３完＋\(\alpha\) であれば、たとえ合格に届かなかったとしても、数学が原因と言われることはないでしょう。
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