年別アーカイブ：2022年

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 同じものを含む円順列と確率について考える問題です。 非常に教育的な内容であり、教材として使いたい問題です。 本問のポイントは 確率では全てのものを区別せよ という鉄則にしたがって考える部分です。 なまじ \(\mathrm{O}\) ,  \(\mathrm{K}\) など、同じ文字を含んでいるがゆえに、身構えて変なことを考えてしまったという受験生もいたかもしれません。 ただ、できれば本問は確保したいレベルの基本的な問題です。 分野的に苦手意 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 不等式で表される領域と、面積に関する問題です。 方向性自体は割と一本道で、迷うことはありませんが、それを処理しきるためには 「見るべき部分を見る」 ということが必要になってきます。 不必要な部分にとらわれすぎてしまい、身動きがとれなくなってしまう恐れは多々あります。 一つ一つの処理で特別なことはしていませんが、「やり方」に終始して根本的な部分を蔑ろにしてきた受験生からすると、 「聞けば分かる」 で終わってしまいます。 本番の入試で「聞けば分か ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 与えられたベクトルに関する漸化式により、点列 \(\{\mathrm{P}_{n}\}\) ,  \(\{\mathrm{Q}_{n}\}\) が定まっていきます。 この \(\mathrm{P}_{n}\) の座標を \((x_{n} \ , \ y_{n})\) としたときの \(x_{n}\) や \(y_{n}\) が求められています。 図形的にアプローチする 式をゴリゴリ処理していく という２路線が考えられますが、図形的なイメージで ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 絶対値付きの２次関数の最小値を考える問題ですが、２変数 \(a\) ,  \(b\) を含んでおり、整理力が必要です。 個人的には東大文系の匂いを感じました。（主観） まずは丁寧に場合分けをして絶対値を外す作業をします。 (1) は \(x \lt 0\) ,  \(x \gt 1\) という範囲が決まっており、条件 \(0 \leq a \leq b \leq 1\) ということを加味すると、この範囲では各絶対値はそのまま外れることになりま ...

2022年度東北大学理系　各解説記事 １５０分 ６題 記述式 と、形式に変更はありません。 分野的トピックス 第１問：場合の数 第２問：微分法（数Ⅱ） 第３問：微分法・極限（数Ⅲ） 第４問：図形と方程式・三角関数・極限 第５問：ベクトル・極限 第６問：積分法（数Ⅲ） という出題で、微積や極限に若干寄ってはいますが、何とか他の分野の問題も入れようという思いがうかがえるセットでした。 各大問について 第１問（やや易） 問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 整数を自然数や非負整数の和の ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 球と円柱の共通部分の体積というシンプルな題意です。 難関大ではよく出るトピックスで、このあたりをキッチリと準備してきている受験生もいるでしょうが、本問の場合、半径が \(r\) という文字で与えられているため、 切って断面積を求めて積分 という正攻法で行こうと思うと中々大変です。 ひとまず \(x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq r^{2}\) \(x^{2}+y^{2}=1\) ,  \(0 \leq z \leq \sqrt{3 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 問題文が長く、何を言っているのかを把握するのに集中する必要があります。 まじめな受験生ほど、律儀に絵を描こうとして、この題意の把握に時間をとられてしまう恐れはあります。 正確な図を描こうという心意気は大切ですが、 立式するために必要な見やすい図 が描ければ事足ります。 というように、 \(l\) ,  \(l'\) がそれぞれ \(\vec{a}\) ,  \(\vec{b}\) を方向ベクトルにもつ。 交互に垂線を下ろしあう という状況をし ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） という状況はよくあるシチュエーションで、この構図を扱ったことのある受験生は多いかもしれません。 様々な文字が飛び交う一般的な設定なので、何を何で表すのかということを見失わないようにしっかりと整理していきたいところです。 オチについては、前半の (1) ,  (2) が確保できれば割とボーナス問題です。 特別な解法を必要とするわけではなく、素直に状況を立式していけば結論まで辿り着けます。 ただ、色々解法が目につき、目移りするかもしれません。 確 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 不等式証明からの、はさみうちの原理という流れ自体はパッと見で読み取れるでしょう。 ただ、(1) の不等式証明は 聞けば簡単だが、意外と単純ではない という問題で、案外バカにはできません。 腕力で押し切ることも可能ですが、工夫の余地はあります。 そのあたりは【解１】【解２】【解３】あたりでご確認ください。 (2) は (1) で証明した不等式を用いてはさみうちの原理で仕留めるんだろうな 形的に区分求積法が狙えそうだな ということになることは予見 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） ４次関数に関する極値や最小値に関して考える問題です。 パッと見の印象はそこまで怖そうではありませんが、 手を進めていくうちに段々と血の気が引いていく という感覚になっていくでしょう。 まともにぶつかるとなると相当ツライ処理を強いられます。 見るべき部分があっちにいったりこっちにいったりと、目線の移動も激しく強靭な整理力や把握力も求められます。 現実的に処理しきるためには計算上の工夫もある程度必要です。 相当厳しい問題ですが、 \(f(x)\) ...