解答速報

2022年度 北海道大学 理系数学【総評と感想】

2022年度北海道大学理系 各解説記事

2022年度 北海道大学 理系第1問【絶対値付きの2次関数の最小値】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 絶対値付きの2次関数の最小値を考える問題ですが、2変数 \(a\) ,  \(b\) を含んでおり、整理力が必要です。 個人的には東大文系の匂いを感じました。(主観) まずは丁寧に場合分けをして絶対値を外す作業をします。 (1) は \(x \lt 0\) ,  \(x \gt 1\) という範囲が決まっており、条件 \(0 \leq a \leq b \leq 1\) ということを加味すると、この範囲では各絶対値はそのまま外れることになりま ...

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2022年度 北海道大学 理系第2問【平面ベクトルと漸化式】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 与えられたベクトルに関する漸化式により、点列 \(\{\mathrm{P}_{n}\}\) ,  \(\{\mathrm{Q}_{n}\}\) が定まっていきます。 この \(\mathrm{P}_{n}\) の座標を \((x_{n} \ , \ y_{n})\) としたときの \(x_{n}\) や \(y_{n}\) が求められています。 図形的にアプローチする 式をゴリゴリ処理していく という2路線が考えられますが、図形的なイメージで ...

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2022年度 北海道大学 理系第3問【不等式で表される領域と面積】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 不等式で表される領域と、面積に関する問題です。 方向性自体は割と一本道で、迷うことはありませんが、それを処理しきるためには 「見るべき部分を見る」 ということが必要になってきます。 不必要な部分にとらわれすぎてしまい、身動きがとれなくなってしまう恐れは多々あります。 一つ一つの処理で特別なことはしていませんが、「やり方」に終始して根本的な部分を蔑ろにしてきた受験生からすると、 「聞けば分かる」 で終わってしまいます。 本番の入試で「聞けば分か ...

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2022年度 北海道大学 理系第4問【円順列と確率の原則】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 同じものを含む円順列と確率について考える問題です。 非常に教育的な内容であり、教材として使いたい問題です。 本問のポイントは 確率では全てのものを区別せよ という鉄則にしたがって考える部分です。 なまじ \(\mathrm{O}\) ,  \(\mathrm{K}\) など、同じ文字を含んでいるがゆえに、身構えて変なことを考えてしまったという受験生もいたかもしれません。 ただ、できれば本問は確保したいレベルの基本的な問題です。 分野的に苦手意 ...

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2022年度 北海道大学 理系第5問【複素数平面の各種基本】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 複素数平面における標準的な問題です。 複素数平面からの出題は2018年度以来です。 不気味なぐらい基本的な難易度であり、今年の北大のセットでは落としてはならない問題です。 確保するのは前提としたうえで、どれだけ時間的余裕を捻出できるかという次元の問題だと思います。 円の方程式 垂直二等分線 図形の交点 ド・モアブルの定理 という基本事項がバランスよく入っており、さらに捻った要素もほぼないため、これら基本事項の単純運用で解決してしまいます。 来 ...

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  • 120分
  • 5題
  • 記述式

と、形式に変更はありません。

分野的トピックス

第1問:2次関数

第2問:ベクトル・数列

第3問:微分法・積分法(数Ⅲ)

第4問:場合の数・確率

第5問:複素数平面

と、幅広い分野から出題されましたが、どちらかというと計算主体の問題に寄っていました。

各大問について

第1問(やや難)

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

絶対値付きの2次関数の最小値を考える問題です。

2変数 \(a\) , \(b\) を含む設定であり、等号の有無を意識させる論証を含んでいることからも、抜かりなく記述するのは神経を使い、受験生からするとやりづらさを感じると思います。

第1問という位置取りで、この内容だと平常心を失う受験生も多そうです。

難易度はやや難でしょう。

第2問(やや難)

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

ベクトルによる漸化式が与えられており、点列 \(\{\mathrm{P}_{n}\}\) ,  \(\{\mathrm{Q}_{n}\}\) が定まっていきます。

この \(\mathrm{P}_{n}\) の座標を \((x_{n} \ , \ y_{n})\) としたときの \(x_{n}\) や \(y_{n}\) が求められています。

ベクトルで表現されている漸化式だからと言って、図形的にアプローチしようとしてはまってしまったという受験生も少なくないでしょう。

割り切って式的に処理していくことになります。

1つ1つの処理すべき漸化式そのものは標準的なものですが、計算量は多く、試験場でバシっと最後まで結論を合わせることは大変です。

先ほどの第1問で出鼻をくじかれた受験生が、本問でさらに精神的ダメージを負うということは十分に考えられます。

おうち難易度は標準かもしれませんが、試験場難易度はやや難です。

第3問(やや難)

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

連立不等式で与えられた領域に関する面積について考察する問題です。

方向性自体は割と一本道で、迷うことはありません。

ただし、その処理は中々厳しく、特に具体的に \(S(a)\) が具体的に計算できないため、アタフタしてしまったという受験生も少なくなかったと思われます。

領域そのものを図示するまでの処理でも差が出てしまうのが現状でしょう。

試験場でこれを落としても、それが致命的とはならないと思います。

ただ、内容自体は教育的内容を多く含み、来年度以降の受験生にとって糧としなければならない内容は多々あります。

難易度はやや難です。

第4問(標準)

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

同じものを含む円順列と確率について考える問題です。

非常に教育的な内容であり、教材として使いたい問題です。

同じ文字を含んでいるため、そのあたりで神経質になってしまったかもしれません。

本問は「確率」の問題であり、

  • 確率では全てのものを区別せよ

という鉄則があります。

そのあたりをきちんと理解し、玉に区別をつけて考えるということをスムーズにできたかどうかがひとまずの山場です。

今年のセットで言えば、できれば確保したい問題です。

難易度は北大での出題と見ても、仮に本問が他大学での出題としてみても標準だと思います。

第5問(やや易)

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

2018年度以来の複素数平面からの出題です。

ここまでの問題から比べると、不気味なぐらい基本的な問題です。

各種基本事項を運用するだけで結論まで辿り着けてしまい、捻った要素も特にありません。

今年のセットでは合格するためには本問を確保していないと厳しいでしょう。

確保するのは前提として、時間的余裕をどれだけ捻出できるかという次元です。

難易度はやや易です。

全体的に

北大は旧帝大の中では比較的素直で標準的な出題が特徴です。

今年は昨年度に比べると、難易の差が大きかったように思います。

さらに、問題が易しい方から並んでいるというわけではなく、前半が難しく、後半が易しいという、問題の位置取り的にも思惑があったんじゃないかと勘繰ってしまうような配置でした。

第1問から

「今年の北大は一味違うぞ」

と思わせる問題が続き、メンタルを乱してしまったという受験生も多かったと思います。

そういった意味で、昨年に比べて全体のセットとしてはやや難化です。

完答が十分狙える確保したい問題

  • 第4問
  • 第5問

を確保したうえで、やりづらさを感じるであろう前半3題にどこまで食らいつけるかという勝負でしょう。

また、数Ⅲの微積分の内容が1題入ってはいたものの、具体的に積分計算をすることはありませんでした。

とは言え、それが来年度以降も続くとは考えにくいため、来年度以降の受験生はそのあたりの基本計算についてはしっかりと準備しておきましょう。

目先の難易度に一喜一憂することなく、定番の問題に対する瞬発力をベースとして、思考力を要する問題を通じて、洞察力や粘り強さを鍛えることが大切です。

また、他大学の過去の名作や上級テーマについても、多少の味付けを変えて出題されることも多いため、土台がある程度固まってきたら、その他の旧帝大など、同程度の大学の過去問について余裕があれば見ておくことも有効です。

 

2022年度北海道大学理系 各解説記事

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問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 不等式で表される領域と、面積に関する問題です。 方向性自体は割と一本道で、迷うことはありませんが、それを処理しきるためには 「見るべき部分を見る」 ということが必要になってきます。 不必要な部分にとらわれすぎてしまい、身動きがとれなくなってしまう恐れは多々あります。 一つ一つの処理で特別なことはしていませんが、「やり方」に終始して根本的な部分を蔑ろにしてきた受験生からすると、 「聞けば分かる」 で終わってしまいます。 本番の入試で「聞けば分か ...

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問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 同じものを含む円順列と確率について考える問題です。 非常に教育的な内容であり、教材として使いたい問題です。 本問のポイントは 確率では全てのものを区別せよ という鉄則にしたがって考える部分です。 なまじ \(\mathrm{O}\) ,  \(\mathrm{K}\) など、同じ文字を含んでいるがゆえに、身構えて変なことを考えてしまったという受験生もいたかもしれません。 ただ、できれば本問は確保したいレベルの基本的な問題です。 分野的に苦手意 ...

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問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 複素数平面における標準的な問題です。 複素数平面からの出題は2018年度以来です。 不気味なぐらい基本的な難易度であり、今年の北大のセットでは落としてはならない問題です。 確保するのは前提としたうえで、どれだけ時間的余裕を捻出できるかという次元の問題だと思います。 円の方程式 垂直二等分線 図形の交点 ド・モアブルの定理 という基本事項がバランスよく入っており、さらに捻った要素もほぼないため、これら基本事項の単純運用で解決してしまいます。 来 ...

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