年別アーカイブ：2021年

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 双曲線とその性質について確認する問題です。 本問は 双曲線の焦点についての導出 双曲線の幾何的な性質 双曲線と直線の連立と、その後の処理 双曲線の漸近線 というように、この１問の中でこれだけの各種基本事項を含んでいるコスパの良い標準問題です。 何かいい問題ないかなぁという指導者側からすれば「あ～ざ～す」的問題です。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む (1) について：双曲線の焦点の導出 一般に、 双曲線 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 順列に関する問題で、数が５個しかないので全部は大変にしても部分的にゴリゴリ押し通していけばできなくはありません。 最後にモノを言うのは基礎の運用ですが、 何を求めればよいのか を要約する「咀嚼力」が求められます。 「何を求めればよいか」に辿り着けるからこそ、次の「どう計算すればよいか」に繋がってきます。 場合の数や確率分野である程度のところで頭打ちになっていて、そこからのブレイクスルーを起こすためには、まさにその部分が必要でしょう。 本問は「 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） レムニスケート（連珠形）と呼ばれる有名曲線を題材とし、 直交座標表示と極方程式との結びつき 極方程式で表される曲線の面積 について学習します。 正直極方程式はウルサイ議論が多く、記述で抜かりなくまとめるには神経を使うので疲れる分野に感じる人も多いでしょう。 そのあたりについては「方程式」という言葉の意味を噛み砕いていけば、押さえるべき部分というのがある程度は見えると思います。 どうやって解答をまとめようかという「記述のまとめ方」みたいなところ ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 三角関数の直交性を基にした問題です。 「関数が直交？どういうこと？」 と思うかもしれません。 このあたりは、より抽象的に定義されるベクトル空間というものを学習しないとピンとこないものがあります。 背伸びをして中途半端に知ったかぶってもロクなことはありませんが、この先大学ではこういう世界が待っているということを垣間見て興味を抱きたいという意欲はWelcomeです。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む (1) ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） \(2^{x}=x^{2}\) という指数関数に関する方程式の有理数解を求めるという分かりやすい題意です。 その過程で色々教訓になることを含んでいますので、本問を題材としてその教訓について見ていきたいと思います。 丁寧な誘導がついていますから、問題を解くこと自体は無理がないレベルで入試問題としては標準的な問題です。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む (1) について 微分するだけと言ってしまえばそれまで ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） サイコロの目によって決まっていく漸化式から得られる値がある範囲内に収まっている確率を求める問題です。 いかにも何かありそうな設定ですが、切り崩すために必要なものは １０％の工夫と９０％の泥臭さ です。 この問題のオチは「表向き」と「裏向き」の２種類のオチがあります。 どちらも京大が度々用意するオチです。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む この漸化式の構造 今回の \(Y_{n}\) は \(Y_{n}= ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 三角関数に関する対称式の問題です。 方針自体は (1) で立式し、(2) でその立式した式の最大最小を考える というシンプルな流れです。 ある程度の力をもった受験生であれば、腕力でねじ伏せること自体はそこまで難しくはないでしょう。 ただ、糧となる工夫についてはぜひとも身につけたい工夫です。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む 状況を図示すると 与えられた状況を図示すると というような図がかけるでしょう。 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） ２次不等式の運用に関しての問題ですが、まともにぶつかると泥沼に嵌まる可能性が十分にあります。 一度は泥沼に嵌まるのも悪くはないです。 その経験は今後にむけて大きな糧となると思います。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む まともに解くと 条件 \(p\) が \(q\) であるための十分条件ということは 命題 \(p \Rightarrow q\) が真である ということです。 厳密には言葉足らずの部分もあ ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 仮想難関大シリーズということで、東大、京大をはじめとする旧帝大、東工大、国公立大学医学部医学科などの難関国公立大を想定したオリジナルの自作問題です。 「手垢の付いていない問題で力試しがしたい」 という方はぜひご活用ください。 今回はシグマ計算に関する問題です。 よくある問題としては、コンビネーション \({}_n \mathrm{ C }_k\) に関するシグマ計算ですが、 パーミュテーション \({}_n \mathrm{ P }_k\) ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 京大が定期的に出題する四面体に関する論証問題です。 幾何・座標・ベクトルという３分野が考えられますが、本問は必要に合わせてどの分野のまな板の上で調理するかを柔軟に対応する力が養えます。 難易度としてはやや難でしょうが、得られるものは大きい問題です。 美しく解く方法もありますが、愚直にやってできないことはありません。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む (1) について 色々考えられますが、ベクトルを導入し ...