年別アーカイブ：2021年

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 一般に、\(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}=a\) という従属な関係式をもつ正の \(n\) 変数 \(x_{1}\) ,  \(x_{2}\) ,  \(\cdots\) ,  \(x_{n}\) に対して \(x_{1}\log{x_{1}}+x_{2}\log{x_{2}}+\cdots+x_{n}\log{x_{n}}\) の最小値を考える問題です。 例題では、２変数、３変数という具体的なバージョンで考えてみてくださ ...

問題１はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 問題２はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 問題３はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 群数列の基本とその運用に関して確認し、足固めする問題です。 基本的に群数列は「めんどくさい」と思う人も多いです。 確かに 「何？何？何？ちょっと待て、え～っと」 と、設定が複雑な問題も多々あります。 群数列の目の付け所や話の進め方は基本的に一本道です。 今回は極力設定がシンプルで、その目の付け所や話の進め方に集 ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） \(x\) 座標と \(y\) 座標がともに整数であるような点を「格子点」と言います。 領域が与えられて、その領域内の格子点の個数を数え上げる問題は定番のテーマです。 格子点の個数を数える基本   \(x=1\) 上の格子点が \(a_{1}\) 個 \(x=2\) 上の格子点が \(a_{2}\) 個 \( \  \  \  \  \ \  \vdots\) と数えていき、全て足し合わせればよいわけです。 つまり、\(x=k\) ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） レピュニット数と呼ばれる、\(1\) が並んだ自然数についての問題です。 通知表では見たくない数です。 本問は \(\overbrace{ 11 \cdots 1 }^{ n個 }=\fbox {n}\) という記号で表現されていたのですが、いちいち \(\fbox{n}\) という見慣れない記号で表現するのがイヤだったのと、\(1\) が並ぶ個数 \(n\) によって定まるという関数的な意味合いを込めて \(f(n)\) と表現させてもらい ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 問題自体は標準レベルの問題で、方針面では躓くことなく進めてほしい問題です。 今回は、分数関数の極値を計算する際の 計算上の工夫について考える というのが趣旨です。 とりあえずは自力で解き進めていってほしいと思います。 （以下ネタバレ注意） + クリック（タップ）して続きを読む (1) について 内接円の半径を導出する際、三角形の面積を絡めて導出するという方法が有名です。 \(\triangle{ABC}=\displaystyle \frac ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 定番の経路問題をベースとして、プラスアルファの思考要素が入った問題です。 (1) は落としたくないレベルですが、(2) は難問です。 東大に現役で合格するような受験生でも、このタイプは初見だと四苦八苦します。 逆に、割合は少ないですが、あっさりと解決してしまう人もいるので見える人には見えるのでしょう。 なお、(2) のモデルケースを考えてみると、蛇みたいな経路に見えるので、蛇経路と呼んでいます。 （私が勝手に呼んでいるだけで市民権はありません ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 複素数平面において \(1\) , \(z\) , \(z^{2}\) あるいは \(z\) , \(z^{2}\) , \(z^{3}\) といった、公比が \(z\) の等比数列をなるような値を頂点にもつ三角形についての考察をする問題です。 類題も様々な大学で出題されています。 正三角形や二等辺三角形など名前がついている特徴的な三角形となるケースを考えさせる出題が多く、図形的特徴を複素数平面上で立式する力が問われます。 例題は、鋭角三角形 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 仮想難関大シリーズということで、東大、京大をはじめとする旧帝大、東工大、国公立大学医学部医学科などの難関国公立大を想定したオリジナルの自作問題です。 「手垢の付いていない問題で力試しがしたい」 という方はぜひご活用ください。 今回は複素数平面における合成関数を扱った問題を作りました。 作為が作為なだけに、一度ネタバレしてしまうとチープに見えてしまうと思いますので、まずは自力でどこまでいけるのかを試してみてほしいと思います。 （以下ネタバレ注意 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） ラメの定理と呼ばれる、ユークリッドの互除法のアルゴリズムの回数に関する上限を与える定理について考えてみます。 今回はラメの定理の主張を、誘導を付ける形での問題形式として考えてみることにします。 ユークリッドの互除法のアルゴリズムが最も長引くケースにフィボナッチ数列が関わってくる部分に面白さを感じます。 ユークリッドの互除法って何？という方は ユークリッドの互除法が何なんだ？という方は 確認 で原理とイメージ寄りの話をしています。 ユークリッド ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） ２つの正整数の最大公約数を求めるときに用いられる「ユークリッドの互除法」と呼ばれるアルゴリズムについて、原理と証明を考えてみます。 古典的な手法による証明だけでなく、ユークリッドの互除法の原理が主張している内容が「当然じゃん」と思えるようなイメージをもつことで身近に感じてもらうとともに、自分の中にしっかりと落とし込むことを目的とします。 ユークリッドの互除法とは 以下 ,  2 つの整数 \(a\) , \(b\) の最大公約数を \(G(a ...