解答速報

2021年度 北海道大学理系【総評と感想】

今年の北大理系数学を解いての感想です。

難易度について

北大は昔から標準的な問題をベースとした適度な良問を出題している大学です。

今年についてもその特徴は顕在で、すべての問題が決して無理のない標準的な問題のセットだったと思います。

今年のセットは計算量も多くなく、昨年度よりやや易化したと言えます。

2021年度 北海道大学理系 各解説記事

2021年度 北海道大学理系第1問【正射影ベクトル、対称点】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 平面ベクトルの問題で、基本的には2本の主役ベクトル(基底)\(\vec {a}\) ,  \(\vec {b}\) を用いてゴリゴリ進めていく路線でいけば間違いないとは思います。 ただ、今回は至る所に現れる「垂直」であったり、それに付随する相似な関係など、適宜幾何的な目線で処理することで、処理を少しでも軽くするように工夫したいところです。 (1) の正射影ベクトルについては、手垢の付いた話題であり、巷では「公式化」しているかのように解説されて ...

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2021年度 北海道大学理系第2問【放物線の2接線の交点と線分比】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 放物線の2接線の交点が絡んだ定番の構図で、今年の旧帝大では名古屋大学もこの構図で出題していました。 大抵面積が絡んだ手垢のついたオチに帰着することが多い中、本問は線分比を計算させてます。 手垢が付きすぎているオチを嫌った(?) 解き始めて最初に思ったことは 「\(a+2\) のまま計算する必要性ってあるのか?」 ということです。 シンプルに \((b \ , \ \displaystyle \frac{b^{2}}{2})\) として計算して ...

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2021年度 北海道大学理系第3問【指数対数についての従属2変数関数】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) ざっと見た感じだと (2) のオチは2変数関数の最大問題です。 (1) の設問的にどうやら従属2変数関数であるなということ、つまり (1) は文字消去するためのヒントという位置づけだなということが読み取れます。 したがって、(1) を確保できないとなると、それが (2) まで響いてきてしまい、大怪我に繋がってしまいます。 その (1) ですが、分母の 6 に含まれる素因数 2 や、左辺の + の形が邪魔で、左辺と右辺を見比べるということは難し ...

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2021年度 北海道大学理系第4問【連立漸化式と整数問題】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 連立漸化式をベースとした整数問題であり、ざっと見た感じだと 「証明のベースは漸化式と相性の良い数学的帰納法かな。全貌に関しては手を動かしてみないと分からんな。」 という印象でした。 (1) は計算するだけなので、問題はないでしょう。 (2) ですが、 \(a_{n}\) が常に偶数なのか、\(b_{n}\) が常に偶数なのか、時と場合によって違うのか という疑問のもと、実験して様子を掴んでみようと思いました。 実験の結果、\(a_{n}\) ...

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2021年度 北海道大学理系第5問【パラメータ曲線の扱い】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) パラメータ表示された曲線に関する基本的な扱いに関する問題です。 やるべきことは一本道であり、迷う余地がありません。 時間を奪われてもいけないレベルの問題であり、本問で躓くということは基本事項の抜けがどこかにあることを示唆するでしょう。 計算量もそこまで多くはありません。 そういった意味で、将来的に本問はどこかの問題集に収録される類の問題だと思います。 問題の難易度はやや易と言いたいところですが、出来具合についてはきっちりと差が付くと思います。 ...

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第1問

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

平面ベクトルの問題としての出題ですが、適宜幾何的な見方をすることで、処理を手際よく進めることができます。

見た目ベクトルの問題だからと言って、全てベクトル的に処理する必要性はありません。

正射影ベクトルという話題が含まれますが、そのあたりのシナリオや扱いについては、しっかり意味も理解している人と、とりあえず結果だけ覚えた人では、記述面で差が付くでしょう。

そのあたりの採点基準についてはどこまで目くじらを立てられるか分かりませんが、できることなら導出過程まで含めてしっかりと記述したいところです。

難易度は標準です。

 

第2問

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

放物線の2接線とその交点について考える定番の構図です。

\(a+2\) のまま計算を進めていくのは、個人的にイヤだったので、\(b=a+2\) と置きなおして計算を進めていきました。

交点の座標については、\(x\) 座標は勉強していれば暗算レベルで出せるでしょう。

この手の構図では、面積に絡んだ出題になることが多いですが、そんな手垢のついた話題を嫌ったのか、本問では線分比の話題にしています。

線分比の最小を考えるにあたっては、微分路線と、相加平均・相乗平均の関係路線が主だった路線です。

相加・相乗平均の関係を利用するための式変形は、初見だとテクったように見えますが、北大の受験生であればこなしたいですね。

最悪微分でぶん殴れば倒れるので、\(\displaystyle \frac{|AB|}{|BC|}\) さえきちんと計算できれば、勢いに乗って完答したいです。

置き換えの工夫を抜きにしても、爆発的に計算量が増えるわけでもないので、なんとか完答したい一問です。

難易度は標準でしょう。

 

第3問

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

一見身構える条件式ですが、目に優しく \(X=3^{4x}\) , \(Y=3^{y^{2}}\) と置き換えることにより、見通しよく条件式を捌くことができるでしょう。

特に対数を扱うことになるため、底の条件や真数条件など、文字の変域に神経を使いながら話を進めていく必要があります。

路線自体は第2問同様、微分でぶん殴るか相加・相乗平均の関係の路線です。

解いていて「あれ、さっきと同じか?」という既視感を感じました。

先ほどと同じような景色ではありますが、(1)で心乱された受験生も一定数いると思われ、解けたにせよ、紆余曲折を経て時間を使ってしまったという受験生も少なくないのではないかと思います。

そういった意味で難易度は標準ではありますが、試験場補正が入ると思います。

 

第4問

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

連立漸化式に関わる整数問題で、漸化式を解くというよりも、それを利用して整数的な性質を見出していく問題です。

細々とした別解はあるでしょうが、大枠として漸化式と相性の良い数学的帰納法で証明していくという路線は睨み続けたいところです。

総合的に「実験」という作業が必要で、この実験によって「あれ?こういうことが言える?」というような予想が立ち、それを示すという流れとなります。

難易度は標準ですが、にらめっこし続けて手を動かさずに閃きが舞い降りるのを待ち続けていた人には厳しかったと思います。

 

第5問

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

パラメータ表示された曲線に関する問題で、パラメータ曲線に関する諸々の話題(面積や回転体の体積など)の演習量が十分であれば、本問は非常に標準的な問題です。

計算量も多くなく、やることも一本道であるため、勉強していれば「はい、いただき!」、勉強が間に合わなかった人は「Good bye」という問題でしょう。

量的にも質的にも手ごろな問題なので、将来的にどこかの問題集などに採用されるでしょう。というレベルの問題です。

難易度はやや易~標準だと思います。

 

総括

きちんと地に足つけて勉強してきた受験生からすれば、手が付けやすく取り組みやすい問題が多かったと感じたはずです。

今年の問題をセットで解いてみて、そう感じなかったという受験生は、演習の質、量いずれかが足りていなかったと思われます。

ただ、今年の問題についてはどれも標準的な問題であったと思いますが、その中でも多少の難易幅はあったと思います。

個人的に試験場であれば確保したい問題としては

やることが明確で一本道である第2問、第5問

であり、手際の良さや処理量に拘らなければ、第1問も確保するのに無理はないでしょう。

第3問、第4問は手を動かしながら様子を見るという要素も入ってくるため、少し出来具合が分かれると思います。

トータル3完+\(\alpha\) であれば、たとえ合格に届かなかったとしても、数学が原因と言われることはないでしょう。

 

2021年度 北海道大学理系 各解説記事

2021年度 北海道大学理系第1問【正射影ベクトル、対称点】

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2021年度 北海道大学理系第2問【放物線の2接線の交点と線分比】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 放物線の2接線の交点が絡んだ定番の構図で、今年の旧帝大では名古屋大学もこの構図で出題していました。 大抵面積が絡んだ手垢のついたオチに帰着することが多い中、本問は線分比を計算させてます。 手垢が付きすぎているオチを嫌った(?) 解き始めて最初に思ったことは 「\(a+2\) のまま計算する必要性ってあるのか?」 ということです。 シンプルに \((b \ , \ \displaystyle \frac{b^{2}}{2})\) として計算して ...

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2021年度 北海道大学理系第3問【指数対数についての従属2変数関数】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) ざっと見た感じだと (2) のオチは2変数関数の最大問題です。 (1) の設問的にどうやら従属2変数関数であるなということ、つまり (1) は文字消去するためのヒントという位置づけだなということが読み取れます。 したがって、(1) を確保できないとなると、それが (2) まで響いてきてしまい、大怪我に繋がってしまいます。 その (1) ですが、分母の 6 に含まれる素因数 2 や、左辺の + の形が邪魔で、左辺と右辺を見比べるということは難し ...

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2021年度 北海道大学理系第4問【連立漸化式と整数問題】

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2021年度 北海道大学理系第5問【パラメータ曲線の扱い】

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