年別アーカイブ：2020年

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 反復試行の確率の形をしているため、下手なことを考えると右往左往しかねない問題です。 シンプルに極限の問題と捉えて考えましょう。 + クリック（タップ）して続きを読む \(\begin{eqnarray} {}_n \mathrm{ C }_r=\frac{ n \cdot ( n - 1 ) \cdots ( n - r + 1 ) }{ r! } \end{eqnarray}\) と、まずは\(\begin{eqnarray}{}_n \m ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   問題のインパクトが強いためか、結構有名な問題です。 桁数については、難関大志望者であれば落としたくはないレベルです。 問題は１の位です。 自分がこの問題と向き合ったときの印象は ①：この数字に意味はあるのか？ ②：\(3^{21}\) って何だ？どこでどう使う？ ということでした。 もし、この数字に意味があり、「この数字じゃなきゃできない」ということであれば、この問題や数字のもつ「特殊性」を見出す必要が出てきます。 逆にこの数字 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   回転放物面を扱った問題で、昔より出題は控えめになりましたが、一度は扱っておきたい話題です。 ３頂点 \(A ,  B ,  C\)  が曲面 \(S\)  上にあるという条件は 曲面 \(S\) の方程式を出して、パラメータ表示する と翻訳するのが最もストレートな方針でしょう。 この回転曲面 \(S\) の方程式を出す方法を本問を例にとって手順化すると以下のようになります。   step1\(S\) 上の任意の点\( ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 「ペル方程式」シリーズ第３弾です。 このシリーズの一覧はこちら 併せて学習すると、理解が深まると思います。   さて、今回はペル方程式を不思議な恒等式（ブラーマグプタの恒等式）からアプローチするという問題です。 このブラーマグプタの恒等式をどう使っていくか、という活用力が問われます。 式の形を観察する力や、その形から次の一手をインスピレーションする力など、脳の様々な場所が刺激されると思います。 ぜひトライしてみてください。 &nbs ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   「ペル方程式」シリーズ第２弾です。 このシリーズの一覧はこちら   今回は一見ペル方程式を前面に押し出しているわけではないですし、知識の有無が出来不出来には直結しません。 ただ、前回の内容を学習した状態で、本問を最後まで解ききってみると、一本の線で何かが繋がる感覚になると思います。 以下は単純に「純粋にこの問題を解く」という観点の内容です。 ( 以下ネタバレ注意 )   ＋クリック（タップ）して続きを読む 帰 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   表向きは数学的帰納法の標準的な練習問題です。 本問を解くだけならば、そこまで難しい話ではありません。 （『数学的帰納法により示せ』と方針まで書いてくれています。） ただ、それで終わらすにはもったいない話題である「ペル方程式」を扱った問題なので、少しふれておこうと思い、今回シリーズものとしてテーマ別演習で扱うことにしました。 このシリーズの一覧はこちら   ペル方程式とは \(x^2-Dy^2=\pm 1\)  ( \( ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   図形の問題は「ベクトル」「幾何」「座標」など、様々な分野からのアプローチが考えられます。 難関大志望者は、問題に応じて「どの分野のまな板の上で料理するか」を日頃から意識し、訓練しておくことが大切です。 本問は \(\vec{ a } \cdot \overrightarrow{ OP }=-\vec{ b } \cdot \overrightarrow{ OP }\)  という条件をどう料理するかが山場であり、考えがいのあるポイ ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） シンプルな問題ですが、泥沼に嵌まりかねない問題です。 手なりに文字を設定すると \(A (\cos \alpha , \sin \alpha)\) \(B(\sqrt{ 3 } \cos \beta , \sqrt{ 3 } \sin\beta)\) \(C(\sqrt{ 3 } \cos \gamma , \sqrt{ 3 } \sin\gamma)\) とおくと思います。 もちろんここから三角形 ABC の面積を出して、独立３変数関数の最 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）     計算できないシグマと、その評価方法についての問題です。 評価とは「大小を比較して不等号をつないでいく」ことです。 （以下ネタバレ注意）     + クリック（タップ）して続きを読む (1) の結果を活用すると、示すべき不等式が $$\displaystyle \sum_{k=1}^n \displaystyle \frac{1}{k^2+1}  \lt \frac{8}{5}$$ というところま ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   幾何についての考察力が問われる問題です。 点 \(A\) , \(B\) を定点としたとき、\(\angle APB \gt 90°\)  を満たす点 \(P\) の集合について考えます。 ２次元の話だと線分 \(AB\) を直径とする円の内部であることは大丈夫だと思います。 これを３次元の話に拡張すれば、線分 \(AB\) を直径とする球の内部ということを見抜くこともそこまで難しい話ではないはずです。 (1)では定点 \(A\ ...