テーマ別演習 ピタゴラス数

ピタゴラス数 第1講【平方剰余】【2004年度 旭川医科大学】

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\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\) を満たす自然数 \((a \ , \ b \ , \ c \ )\) の組をピタゴラス数と言い、特に \(a\) , \(b\) , \(c\)  のどの2つも互いに素であるとき、原始ピタゴラス数と言います。

原始ピタゴラス数に関する入試問題は頻出であり、今回は何題かピックアップしてシリーズものとして取り上げたいと思います。

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ピタゴラス数 第1講【平方剰余】【2004年度 旭川医科大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   \(a^{2}+b^{2}=c^{2}\) を満たす自然数 \((a \ , \ b \ , \ c \ )\) の組をピタゴラス数と言い、特に \(a\) , \(b\) , \(c\)  のどの2つも互いに素であるとき、原始ピタゴラス数と言います。 原始ピタゴラス数に関する入試問題は頻出であり、今回は何題かピックアップしてシリーズものとして取り上げたいと思います。 シリーズ一覧はこちら   今回は第1講ということで ...

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ピタゴラス数 第2講【原始ピタゴラス数の一般解】【1999年度 京都大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   ピタゴラス数についてのテーマ別演習第2講です。 シリーズ一覧はこちら 第2講では原始ピタゴラス数の一般解について考えます。 この問題だけ見ると、 「なんだこのオチ」 と思うかもしれませんが、実はこのオチからもう少し話を進めると   原始ピタゴラス数の一般解 \(m\) ,  \(n\) を \(m \gt n\) を満たす互いに素で、偶奇の異なる自然数とする。 この \(m\) ,  \(n\)  を用いて、\(a^{ ...

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ピタゴラス数 第3講【拡張版の等式】【2000年度 横浜国立大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   ピタゴラス数についてのテーマ別演習第3講です。 シリーズ一覧はこちら 今回はピタゴラス数の拡張として \(a^{2}+b^{2}+c^{2}=d^{2}\) を満たす自然数 \(a\) , \(b\) , \(c\) , \(d\) について扱います。 (以下ネタバレ注意)     + クリック(タップ)して続きを読む 聞かれていることについては第1講で扱った平方剰余に近いものがあります。 そこで、(1) で ...

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ピタゴラス数 第4講【イェスマノヴィッツ予想】【有名事実】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   シリーズ一覧はこちら   非常にシンプルな問題ですが、難問です。 本問は歴史的には1955年にシェルピンスキーという数学者によって解決されました。 その後、この問題は一般のピタゴラス数についても成り立つか?という疑問に変わっていきます。 すなわち \(a\) , \(b\) , \(c\) を \(a^{2}+b^{2}=c^{2}\) を満たす正の整数とする。 \(a^{x}+b^{y}=c^{z}\) を満たす正の ...

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今回は第1講ということで、様々な大学で出題されている定番の内容の確認からスタートします。

原始ピタゴラス数の3数の中には必ず

2の倍数、3の倍数、4の倍数、5の倍数が含まれる

という有名事実の証明です。

整数問題の基本方針で言うと

余りで分類

という態度になります。

加えて

重要事項

平方剰余(平方数を何かで割った余り)は限られる

ということは、本問に限らず様々な場面で要求される事柄ですので、難関大学を目指すのであれば自分の中にインストールしておいた方がよいでしょう。

ただ、本問のような実践的な問題になると

「何で割った余りに注目するか」

ということも気にする必要があります。

特効薬的なものがあるわけではないので、式の形や示すべきことなどから発見していく「その場力」を鍛えていく必要があります。

「その場力」は分からなかったらすぐに答えを見るという態度では一向に身につきません。

そういった意味でも本問がもし初見だという方は、まずは自力で考えてみてほしいと思います。

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